tag:blogger.com,1999:blog-35989851358613476522024-02-21T09:29:23.966-08:00O numero do PIO numero do PIhttp://www.blogger.com/profile/09372828817269640490noreply@blogger.comBlogger12125tag:blogger.com,1999:blog-3598985135861347652.post-39404400674725656092011-05-05T13:37:00.000-07:002011-05-05T13:37:46.294-07:00Como calculamos o numero pi?<ol><li><span style="color: magenta; font-size: large;"><em>O "PI" DA QUESTÃO! Pi é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a razão entre dois números inteiros naturais. </em></span></li>
<li><span style="color: magenta; font-size: large;"><em>“História” do Pi A descoberta deste número magnífico não foi um processo fácil e linear. Muitos foram os matemáticos que dedicaram parte de suas vidas ao seu cálculo. Cada avanço tinha muitas falhas, muitos retrocessos, muitos esforços. O cálculo de pi foi levado a cabo durante muitos séculos por inúmeras razões, quer práticas quer teóricas. Como se sabe p ( pi ), é o número mais famoso da história universal, o qual recebeu um nome próprio, um nome grego, pois embora seja um número, não pode ser escrito com um número finito de algarismos. O p representa a razão entre o perímetro do círculo e seu diâmetro. O número pi tem uma história fascinante, que começou acerca de 4000 anos atrás. Matemáticos no Egito antigo descobriram que a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência . Eles definiram o que chamamos hoje de pi como um número "um pouco maior que 3". Inúmeros povos andaram à sua procura mesmo antes que chegassem a ter consciência matemática. Portanto, eles tinham uma noção do valor do pi mas ainda estavam a alguns séculos de distância de um resultado mais exato. Os egípcios chegaram ao valor aproximado de 3,16 há 3500 anos partindo de um quadrado inscrito em uma circunferência, cujo lado media nove unidades. Eles, então, dobraram os lados do quadrado para obter um polígono de oito lados e calcularam a razão entre os perímetros dos octógonos inscrito e circunscrito e o diâmetro da circunferência. </em></span></li>
<li><span style="color: magenta; font-size: large;"><em>Método do clássico para o cálculo de π A primeira tentativa rigorosa de encontrar π deve-se a Arquimedes, um dos mais conhecidos matemáticos da Antiguidade, que viveu por volta do século III a.C. na Grécia. Pela construção de polígonos inscritos e circunscritos, encontrou que pi seria entre um valor entre 223/71 e 23/7, ou seja, aproximadamente 3,14. Tal método é o chamado método clássico para cálculo de pi. Partiu de um hexágono regular e calculou os perímetros dos polígonos obtidos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono de 96 lados. Com esse perímetro calculado, ele definiu que o valor de π estaria entre 3,1408 e 3,1428. </em></span></li>
<li><span style="color: magenta; font-size: large;"><em>Formulação matemática do método de Arquimedes Baseado no método de Arquimedes é possível formular uma representação matemática para o cálculo de pi, eficiente para um polígono de qualquer número de lados. Considerando um polígono de n lados e raio 1, temos a medida do lado expressa pela lei dos cossenos: a2 = b2 + c2 − 2cosα </em></span></li>
<li><span style="color: magenta; font-size: large;"><em>Significado do A razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro produz o número PI. É um número que mobilizou e ainda mobiliza muitos matemáticos. A principal curiosidade, no caso do PI, é a obtenção de um valor sempre igual e constante, adicionando-se também um mistério: o de não podermos conhecer a última casa. Por esse motivo, o PI passou a ser representado pela letra (do alfabeto grego). Foi uma estratégia para simplificar o registro. Voltando ao procedimento matemático, que produziu essa misteriosa constante, poderemos igualar as razões entre os perímetros dos círculos e os seus respectivos diâmetros. Essa proporcionalidade permite escrever que o perímetro de uma roda gigante, dividido pelo seu diâmetro, é igual ao perímetro de uma moeda dividido pelo diâmetro dessa mesma moeda: </em></span></li>
<li><span style="color: magenta; font-size: large;"><em>Métodos de cálculo O perímetro de uma moeda com 1,5 cm de diâmetro pode ser calculado multiplicando-se o diâmetro dessa moeda pela constante . Poderemos registrar como P = 1,5. cm. E se quisermos conferir esse perímetro, contornando a borda dessa moeda com uma linha de costura, teremos que calcular esse perímetro considerando um determinado valor para pi. Nesse caso, podemos multiplicar 1,5 cm por 3,14, fazendo P = 1,5 x 3,14 - que se aproximará bastante do comprimento da linha. E, portanto,do perímetro. Se o raio de uma roda de bicicleta é igual a 20 cm, então qual é o comprimento do pneu que contorna essa roda? Responderemos pelo perímetro e obteremos um valor teórico de P = 2 x (20 cm) x = 40 cm ou valor experimental de P = 2 x (20 cm) x 3,14 = 125,6 cm. </em></span></li>
<li><span style="color: magenta; font-size: large;"><em>Valor de π (Pi) Na Babilônia, o valor do pi era considerado igual a três e hoje podemos escrevê-lo com muitas casas depois da vírgula, com as reticências informando que ele não terminou - e não terminará: 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097 4944592307816406286208998628034825342117067982148086513282 3066470938446095505822317253594081284811174502841027019385 2110555964462294895493038196442881097566593344612847564823 3786783165271201909145648566923460348610454326648213393607 2602491412737245870066063155881748815209209628292540917153 6436789259036001133053054882046652138414695194151160943305 7270365759591953092186117381932611793105118548074462379962 7495673518857527248912279381830119491298336733624406566430 8602139494639522473719070217986094370277053921717629317675 2384674818467669405132000568127145263560827785771342757789 6091736371787214684409012249534301465495853710507922796892 5892354201995611212902196086403441815981362977477130996051 8707211349999998372978049951059731732816096318595024459455 3469083026425223082533446850352619311881710100031378387528 8658753320838142061717766914730359825349042875546873115956 2863882353787593751957781857780532171226806613001927876611 1959092164201989380952572010654858632788659361533818279682 3030195203530185296899577362259941389124972177528347913151 5574857242454150695950829533116861727855889075098381754637 4649393192550604009277016711390098488240128583616035637076 6010471018194295559619894676783744944825537977472684710404 75346462080466842590694912933136770289891521047521620569... </em></span></li>
<li><span style="color: magenta; font-size: large;"><em>Aproximação do pi Nos livros didáticos, esse número é arredondado para 3,1416 ou 3,14, permitindo cálculos aproximados. No entanto, não podemos esquecer que nunca poderemos afirmar que o valor do pi é igual a 3,14. Por isso, é essencial que, no cálculo do perímetro, a letra grega apareça para evitar erros. </em></span></li>
<li><span style="color: magenta; font-size: large;"><em>Métodos empíricos para cálculo do PI Método I - Usando a circunferência Material necessário Uma tira de papel, uma régua, um objeto cilíndrico, por exemplo, uma lata de Leite em pó. Método Rodeie a lata com uma tira de papel faça uma marca no local onde uma extremidade toca a outra. Estenda a tira de papel sobre uma superfície horizontal e meça o seu comprimento (perímetro da lata). Meça o diâmetro da lata. Pode-se colocá-la entre dois objetos e assim medir a distância entre eles. O quociente entre as duas medidas é o número pi (aproximado, em virtude da inexatidão das medidas</em><strong>).</strong></span><strong> </strong></li>
</ol><strong>CIEAC</strong><br />
<strong><em><span style="background-color: magenta;">COMENTARIO DE UMA ALUNA:Vivia da silva santos</span></em></strong><br />
<strong><em><span style="background-color: magenta;">Serie:7* 09 turno:Vespertino <u>ASSUNTO:O numero pi</u></span></em></strong>O numero do PIhttp://www.blogger.com/profile/09372828817269640490noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-3598985135861347652.post-54406118947964183852011-05-04T17:45:00.000-07:002011-05-04T17:45:15.006-07:00ivan<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><object width="320" height="266" class="BLOGGER-youtube-video" classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,40,0" data-thumbnail-src="http://0.gvt0.com/vi/EB6-j_ffLwg/0.jpg"><param name="movie" value="http://www.youtube.com/v/EB6-j_ffLwg&fs=1&source=uds" /><param name="bgcolor" value="#FFFFFF" /><embed width="320" height="266" src="http://www.youtube.com/v/EB6-j_ffLwg&fs=1&source=uds" type="application/x-shockwave-flash"></embed></object></div>O numero do PIhttp://www.blogger.com/profile/09372828817269640490noreply@blogger.com1Bahia, Brasil-12.297068051644162 -39.331055062500013-17.19259555164416 -43.966256562500014 -7.4015405516441621 -34.695853562500012tag:blogger.com,1999:blog-3598985135861347652.post-37264326752600582672011-05-04T16:48:00.000-07:002011-05-04T16:48:28.443-07:00Arquimedes e o numero pi<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br />
</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><object width="320" height="266" class="BLOGGER-youtube-video" classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,40,0" data-thumbnail-src="http://1.gvt0.com/vi/auk0ak_RzOk/0.jpg"><param name="movie" value="http://www.youtube.com/v/auk0ak_RzOk&fs=1&source=uds" /><param name="bgcolor" value="#FFFFFF" /><embed width="320" height="266" src="http://www.youtube.com/v/auk0ak_RzOk&fs=1&source=uds" type="application/x-shockwave-flash"></embed></object></div><span style="background-color: red; color: #eeeeee; font-family: Georgia, "Times New Roman", serif;"><strong><em>C.I.E.A.C</em></strong></span><br />
<strong><em><span style="background-color: red; color: #eeeeee; font-family: Georgia;">ALUNO:Robson Braga Bastos</span></em></strong><br />
<strong><em><span style="background-color: red; color: #eeeeee; font-family: Georgia;">SÉRIE: 7* </span></em></strong><br />
<strong><em><span style="background-color: red; color: #eeeeee; font-family: Georgia;">TURMA: </span></em></strong><strong><em><span style="background-color: red; color: #eeeeee; font-family: Georgia;">9</span></em></strong><br />
<strong><em><span style="background-color: red; color: #eeeeee; font-family: Georgia;">TURNO:Vespertino</span></em></strong><br />
<strong><em><span style="background-color: red; color: #eeeeee; font-family: Georgia;">PROF:Joelma<span style="background-color: white;"> </span></span></em></strong><br />
<strong><em><span style="background-color: red; color: #eeeeee; font-family: Georgia;">~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~</span></em></strong>O numero do PIhttp://www.blogger.com/profile/09372828817269640490noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-3598985135861347652.post-32369445892542273622011-05-04T06:49:00.000-07:002011-05-04T06:49:25.681-07:00comentario<h3><span style="color: blue;">Por que é tão difícil calcular o PI? </span></h3><div align="justify"><span style="color: blue;">A principal razão é que PI não é uma fração. Com efeito, se PI pudesse ser escrito como uma fração m / n, seu cálculo poderia </span></div><div align="justify"><span style="color: blue;">ou se resumir em buscar o valor de tais numeros inteiros m e n </span></div><div align="justify"><span style="color: blue;">ou explorar a periodicidade de sua representação decimal<br />
( por exemplo, se fosse verdade que PI = 22 / 7 = 3.142857 142857 142857 ..., então nos bastaria achar o valor da parte inteira, 3, e o bloco 142857 que se repete indefinidamente ) </span></div><div align="justify"><span style="color: blue;">O fato de que, por mais de 2000 anos, ninguém tivesse conseguido explorar nenhuma das duas possibilidades acima é exatamente o que sugeriu que PI não deva ser uma fração. A verificação rigorosa desse fato, ou seja a demonstração da irracionalidade de PI, veio só com Lambert, em 1 761.<br />
<br />
Em verdade, por si só, a irracionalidade de PI não seria suficiente para determinar a dificuldade de seu cálculo; com efeito, existem irracionais de representação decimal previsível, e então fáceis de calcular, como é o caso de 3.10110111011110... . PI é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente. </span></div><div align="justify"><span style="color: blue;"><strong>O cálculo de aproximações práticas do PI</strong> </span></div><div align="justify"><span style="color: blue;">Dada a ubiqüidade do PI, já comentada acima, é mais do que natural e importante que desejemos calcular seu valor. Contudo, dada sua irracionalidade imprevisível, jamais saberemos seu valor exato e isso nos leva a indagar: por que não nos contentarmos com aproximações PRATICAS do PI? </span></div><div align="justify"><span style="color: blue;">Nas lides diárias, dificilmente precisaremos conhecer uma aproximação melhor do que 3.14, enquanto que a vasta maioria dos calculos científicos não precisa saber mais do que 3.1416 e somente cálculos matemáticos muito exigentes, como o da obtenção de valores muito exatos das funções trigonométricas, precisaria saber mais de 10 dígitos do PI.</span></div><div align="justify"><span style="color: blue;">O mais antigo matemático que se preocupou com a obtenção de aproximações PRATICAS do PI foi Archimedes c. 200AC, em seu trabalho Sobre a medida do círculo. Usando o método dos polígonos, que descreveremos adiante, na proposição 3 desse trabalho ele mostra que:</span></div><div align="justify"><span style="color: blue;">a circunferência de qualquer círculo é maior do que três vezes seu diâmetro, e o excesso e' menor do que a sétima parte do diâmetro mas maior do que dez vezes sua septuagésima primeira parte</span></div><div align="justify"><span style="color: blue;">ou seja: 3 10/71 < PI < 3 1/7, o equivale a dizer, em frações decimais: 3.1408 < Pi < 3.1428.</span></div><div align="justify"><span style="color: blue;">O método dos polígonos envolve a obtenção de sucessivas delimitações da circunferência do círculo através do cálculo do perímetro de polígonos regulares inscritos e circunscritos, cujo número de lados vai sucessivamente dobrando. Consequentemente, o método é capaz, ao menos em princípio, de obter aproximações do valor do PI tão grandes quanto desejarmos. E' importante não esquecermos desse "em princípio" pois que Archimedes calculava com frações ordinárias e isso tornava seus cálculos extremamente penosos.<br />
Archimedes partiu de quadrados e chegou até aos hexacontatetrágonos ( = polígonos regulares de 64 lados ) e aí parou pois que achou que esses produziam um aproximação PRATICA do PI.</span></div><br />
<span style="color: blue;">CIEAC</span><br />
<span style="color: blue;">Aluna: Leide Bezerra Prof: Joelma</span><br />
<span style="color: blue;">Turma:09 Série:7* Turno:Vespertino.</span><br />
<span style="color: blue;">Assunto:O numero pi GRUPO:05</span>O numero do PIhttp://www.blogger.com/profile/09372828817269640490noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3598985135861347652.post-80524378857766683202011-05-04T06:02:00.000-07:002011-05-04T06:02:06.540-07:00Comentario sobre o numéro pi<span style="font-size: large;"><strong><em><span style="color: lime;"><span style="background-color: lime;"><span style="background-color: white;">Um </span></span><span style="background-color: white;">número fascinante:é o numero pi</span></span></em></strong></span><br />
<span style="font-size: large;"><div class="PostAuthorDetails"><strong><img align="left" border="0" class="Picture" src="http://www.mundovestibular.com.br/authorpics/matematica.jpg" /> </strong></div><!-- This uses the GoogleAdsense200x200.html snippet --><div style="display: inline; float: left;"></div><div class="PageTitle"></div><br />
<div class="PostContent"><strong></strong></div><div class="PostContent"><div align="justify"><em><span style="color: lime;"><strong>PI, o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, é a mais antiga constante matemática que se conhece. E' tambem um dos poucos objetos matematicos que, ao ser mencionado, produz reconhecimento e ate mesmo interesse em praticamente qualquer pessoa alfabetizada.</strong></span></em></div><div align="justify"><em><span style="color: lime;"><strong>Apesar da antiguidade do nosso conhecimento do PI, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas. Com efeito, dentre os objetos matemáticos estudados pelos antigos gregos, há mais de 2 000 anos, Pi é um dos poucos que ainda continua sendo pesquisado: suas propriedades continuam a ser investigadas e procura-se inventar novos e mais poderosos métodos para cálcular seu valor, sendo que a divulgação desses resultados constitui uma das raras ocasiôes em que vemos a Matemática atingindo os meios de comunicação de massa. </strong></span></em></div><h3><span style="color: lime;">PI está em todos os lugares</span> </h3><div align="justify"><span style="color: lime;"><em>O rolar das ondas numa praia, o trajeto aparente diário das estrelas no céu terrestre, o espalhamento de uma colônia de cogumelos, o movimento das engrenagens e rolamentos, a propagação dos campos eletromagnéticos e um sem número de fenômenos e objetos, do mundo natural e da Matemática, estão associados às idéias de simetria circular e esférica. Ora, o estudo e uso de círculos e esferas, de um modo quase que inexorável, acaba produzindo o PI. Daí a ubiquidade desse número. Ele é uma das constantes universais da Matemática.</em></span></div><div align="justify"><span style="color: lime;">É importante chamarmos a atenção para o fato que também são frequentes as ocorrências do PI em estudos onde aparentemente, principalmente para uma pessoa de pouca formação matemática, não estariam envolvidas simetrias circulares: na normalização da distribuição normal de probabilidades, na distribuição assintótica dos números primos, na construção de números primos próximos a inteiros dados ( na chamada constante de Ramanujan ), e mil e uma outras situações. </span></div></div><span style="color: lime;"> </span><br />
<br />
<br />
<span style="color: lime;"><strong>CIEAC</strong></span><br />
<span style="color: lime;"><strong><em>Comentário feito por: Thainá Da Silva Azevedo </em></strong></span><br />
<span style="color: lime;"><strong><em> Série:7* Turma:09 Turno: Vespertino</em></strong></span><br />
<span style="color: lime;"><strong><em>Assunto: De Matematica</em> <u><em>O numero pi</em></u> </strong></span></span>O numero do PIhttp://www.blogger.com/profile/09372828817269640490noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3598985135861347652.post-8075601910323503532011-05-04T05:42:00.000-07:002011-05-04T05:42:23.678-07:00Comentario sobre o numero pi: *-* *-*<em><span style="color: red; font-size: large;">É importante chamarmos a atenção para o fato que também são frequentes as ocorrências do PI em estudos onde aparentemente, principalmente para uma pessoa de pouca formação matemática, não estariam envolvidas simetrias circulares: na normalização da distribuição normal de probabilidades, na distribuição assintótica dos números primos, na construção de números primos próximos a inteiros dados ( na chamada constante de Ramanujan ), e mil e uma outras situações.</span> </em><br />
<h3><span style="color: red; font-size: large;"><em>Os vários tipos de PI </em></span></h3><div align="justify"><span style="color: red; font-size: large;"><em>Em verdade, na Geometria Euclidiana, temos quatro constantes que poderiam ser chamadas de PI:</em></span></div><div align="justify"><span style="color: red; font-size: large;"><em>o PI de circunferências: a constante de proporcionalidade na relação entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro </em></span></div><div align="justify"><span style="color: red; font-size: large;"><em>o PI de áreas de círculos: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de um círculo e o quadrado de seu diâmetro </em></span></div><div align="justify"><span style="color: red; font-size: large;"><em>o PI de áreas de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de uma esfera e o quadrado de seu diâmetro </em></span></div><div align="justify"><span style="color: red; font-size: large;"><em>o PI de volumes de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre o volume de uma esfera e o cubo de seu diâmetro </em></span></div><div align="justify"><span style="color: red; font-size: large;"><em>Usando as fórmulas clássicas da Geometria, fica muito fácil expressarmos qualquer uma dessas constantes de proporcionalidade em termos das demais. Por questão de tradição, prefere-se trabalhar exclusivamente com o PI da circunferência de círculos, o qual é denotado internacionalmente pela letra pi minúsculo, a letra inicial da palavra grega peripheria que significa perímetro ou circunferência ( essa notação surgiu no início do sec. 1700 e foi adotada e popularizada pelo importante livro Análise Infinitesimal, escrito por Euler c. 1750 ).</em></span> </div><div align="justify"><br />
</div><div align="justify"><br />
</div><div align="justify"><br />
</div><div align="justify"><span style="color: red; font-size: large;"><strong>cieac</strong></span></div><div align="justify"><em><span style="color: red;">Comentario de uma aluna da:7* 09 Gessica Almeida De Jesua*-*</span></em></div><div align="justify"><span style="color: red;"><em>Turno: <span style="color: red;"><u>ves</u></span></em></span><span style="color: red;"><u>p</u><em><u>ertino</u> *-*</em></span></div><div align="justify"><em><span style="color: red;">Prof:J<u>oelma *-*</u> Assunto:<u><span style="font-size: large;">o numero pi*-*</span></u></span></em></div>O numero do PIhttp://www.blogger.com/profile/09372828817269640490noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3598985135861347652.post-525419427514729522011-05-04T04:26:00.000-07:002011-05-04T04:26:53.928-07:00<h3 class="post-title entry-title"><span class="goog_qs-tidbit goog_qs-tidbit-0">Contribuições que foram feitas para obtenção do valor aproximado de PI com maior números de casas decimais desde sua desconberta até hoje.</span> </h3><div class="post-header"><div class="post-header-line-1"></div></div><div class="post-body entry-content" id="post-body-2996748516768323773"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Tahoma; line-height: 18px;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-size: xx-small; font-style: italic;"> </span><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span" style="font-size: xx-small;"> </span><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">Valor aproximado de PI</span></span></b></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Tahoma; line-height: 18px;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;">A partir da razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro obtemos uma constante: o número PI; representado pela letra grega p. Descrevemos neste artigo definição, história e porque este número aparece em fórmulas como o perímetro da circunferência e a área de um círculo.</span></i></b></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXy8-V8Wq3XIoa0les6Bd0T1TDqEPm-wwzfdYSXB7TKWTkEJSWG7B7sMv0-UG-16DuwQkxovYe2p9qn5BaCF1T79ImZZ9eMgIdRfFLzbdWyRGOZQ09S6Oe6P9tMJzNsQZ1UC7pDaNjR-3Y/s1600/pi-poster.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXy8-V8Wq3XIoa0les6Bd0T1TDqEPm-wwzfdYSXB7TKWTkEJSWG7B7sMv0-UG-16DuwQkxovYe2p9qn5BaCF1T79ImZZ9eMgIdRfFLzbdWyRGOZQ09S6Oe6P9tMJzNsQZ1UC7pDaNjR-3Y/s320/pi-poster.png" width="224" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br />
</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br />
</div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Tahoma; font-size: xx-small; line-height: 18px;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"> </span></i></b></span><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 13px;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;">Os egípcios sabiam trabalhar muito bem com razões. Descobriram logo que a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência, e oseu valor é um número "um pouquinho maior que 3".</span></i></b></span><br />
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">É essa razão que hoje chamamos pi.</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Considerando c o comprimento de uma circunferência e d o diâmetro, temos:</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">c/d = pi</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">c = pi . d</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">O cálculo do valor exato de pi ocupou os matemáticos por muitos séculos.</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Para chegar ao valor de pi exprsso por 3 1/6, que é aproximadamente 3,16, os egípcios há 3 500 anos partiram de um quadrado inscrito em uma circunferência, cujo lado media 9 unidades. Dobraram os lados do quadrado para obter um polígono de 8 lados e calcularam a razão entre os perímetros dos octógonos inscrito e circunscrito e o diâmetro da circunferência.</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Os egípcios conseguiram uma aproximação melhor que a dos babilônios, para os quais "o comprimento de qualquer circunferência era o triplo de seu diâmetro", o que indicava o valor 3 para pi.</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Por volta do século III a.C., Arquimedes - o mais famoso matemático da Antiguidade, que viveu e morreu em Siracusa, na Grécia - também procurou calcular a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro.</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Começando com um hexágono regular, Arquimedes calculou os perímetros dos polígonos obtidos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono de 96 lados.</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Calculando o perímetro desse polígono de 96 lados, conseguiu para pi um valor entre 3 10/71 e 3 10/70. Ou seja, para Arquimedes pi era um número entre 3,1408 e 3,1428.</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Com um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio, Ptolomeu, que viveu em Alexandria, no Egito, por volta do século III d.C., conseguiu calcular o valor de pi como sendo 377/120, que é aproximadamente igual a 3,1416, uma aproximação ainda melhor que a de Arquimedes.</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">O fascínio pelo cálculo do valor exato de pi também tomou conta dos chineses. No século III d.C., Liu Hui, um copiador de livros, conseguiu obter o valor 3,14159 com um polígono de 3 072 lados.</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Mas no fim do século V, o matemático Tsu Ch'ung-chih foi mais longe ainda: encontrou como valor de pi um número entre 3,1415926 e 3,1415927.</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Nesta época, o grande matemático hindu Aryabhata deixou registrada esta afirmação num pequeno livro escrito em versos:</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">"Some-se 4 a 100, multiplique-se por 8 e some-se 62 000. O resultado é aproximadamente uma circunferência de diâmetro 20 000".</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Se você recordar que o comprimento de uma circunferência é dado por c = pi . d, fica fácil entender que a solução da equação de Aryabhata:</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">(4 + 100) . 8 + 62 000 = pi . 20 000</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">104 . 8 + 62 000 = pi . 20 000</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">832 + 62 000 = pi . 20 000</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">62 832 = pi . 20 000</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">62 832/20 000 = pi</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">indica como valor de pi 3,1416.</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">62 832/ 20 000= 3,1416</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Quanto maior o número de casas decimais, melhor é a aproximação que se obtém para pi.</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Até o século XV, o melhor valor para pi havia sido encontrado pelo matemático árabe al-Kashi: 3,1415926534897932.</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Mas o cálculo mais impressionante foi efetuado pelo matemático holândes Ludolph van Ceulen (1540-1610) no final do século XVI.</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Começando com um polígono de 15 lados e dobrando o número de lados 37 vezes, Ceulen obteve um valor para pi com 20 casas decimais.</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Logo em seguida, usando um número de lados ainda maior, ele conseguiu uma aproximação com 35 casas decimais!</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Tamanha deve ter sido a emoção de Van Ceulen que, na sua morte, sua esposa mandou gravar no túmulo o valor de pi com as 35 casas decimais.</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Imagine como ele se sentiria se viesse a saber que no século XX computadores calculariam, em segundos, o valor de pi com 100, 1000, 10 000, milhões de casas decimais!</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Pi = 3,14159265358979323846264 33832795028841971693993751058 20974944592307816406286208998 62803482534211706798214808651 32823066470938446095505822317 253594081128481117450284102701 93852110555964462294895493038 19644288109756659334461284756 48233786783165271201909145648 5669234603486104543266482...</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt;">Muitos dos símbolos matemáticos que usamos atualmente devemos ao matemático suíço Leonhard Euller (1707-1783).</span><span style="font-family: "Times New Roman", serif; font-size: 12pt;"></span></span></i></b></div><div class="MsoNormal"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt; line-height: 115%;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;">Foi Euller quem, em 1737, tornou conhecido o símbolo para o número pi. Foi também nesta época que os matemáticos conseguiram demonstrar que é um número irracional.</span></i></b></span></div><div style="text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="color: navy; font-family: Arial; font-size: xx-small;"><span class="Apple-style-span" style="-webkit-border-horizontal-spacing: 2px; -webkit-border-vertical-spacing: 2px;"> </span></span></div><h3 style="line-height: 15pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif;"><i><span class="Apple-style-span" style="font-size: medium;"> O cálculo isolado das decimais Pi</span></i></span></h3><div style="line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;">Em 1995, David Bailey, em colaboração com Peter Borwein e Simon Plouffe, descobriu uma fórmula de cálculo de p, uma soma infinita (freqüentemente chamada fórmula BBP):</span></i></b><span class="Apple-style-span" style="color: #555555;"></span></span></div><div style="line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><br />
</span></i></b></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj09QPfP9RNDHnIJYY0Gap4TO6e-3UFv5H6jv4eZn9pCwEafIfzJLTY1bRhTroi9S_DLHoQBys22qPKhNeE4C1sBvR2ibqhhFXcZFAMX9XzRrI_UEjrmxBSBUFlpsD9fbu7B-imIX7XFb0w/s1600/f9733b62958be8751fbab97431c27af5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="36" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj09QPfP9RNDHnIJYY0Gap4TO6e-3UFv5H6jv4eZn9pCwEafIfzJLTY1bRhTroi9S_DLHoQBys22qPKhNeE4C1sBvR2ibqhhFXcZFAMX9XzRrI_UEjrmxBSBUFlpsD9fbu7B-imIX7XFb0w/s320/f9733b62958be8751fbab97431c27af5.png" width="320" /></a></div><div style="line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"></span></i></b></span></div><div style="line-height: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;">Essa fórmula permite calcular facilmente a enésima decimal binária ou hexadecimal de p sem ter que calcular as decimais precedentes. O site de Bailey contém sua derivação e implementação em diversas linguagens de programação. Graças a uma fórmula derivada da fórmula BBP, o 4 000 000 000 000 000° algarismo de p em base 2 foi obtido em 2001.<span class="Apple-style-span" style="color: #555555;"></span></span></span></i></b></div><div style="line-height: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"> </span></span></i></b></div><div style="line-height: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><br />
</span></span></i></b></div><h3 style="line-height: 15pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #333333; font-size: 12pt;"> </span><i><span class="Apple-style-span" style="font-size: medium;">OU SERÁ O "X" DA QUESTÃO?!</span></i><span class="Apple-style-span" style="color: #333333; font-size: 12pt;"></span></span></h3><br />
<div style="line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif;"></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>Chamamos de números irracionais todos os números que não podem ser expressos em forma de fração. Antes que você pergunte, dízimas periódicas podem ser representadas em forma de fração. O que são dízimas periódicas? São números que depois da parte inteira, repetem um período. Ex. 3,111111 ou 0, 34343...</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>Assim sendo os números irracionais têm expansão decimal infinita e não periódica.</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>Os egípcios não foram capazes de captar a natureza desses números. Quando em algum problema aparecia uma raiz quadrada, ela era expressa sempre como um número inteiro ou uma fração comum.</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>Os babilônios não estavam muito acima dos egípcios, embora trabalhassem com frações sexagesimais (como as que se usam hoje para a medida do tempo) em vez de frações comuns. É claro que também na base 60, um número real pode ter uma expansão infinita, periódica ou não. Mas os babilônios não percebiam isso e, quando obtinham um número irracional contentavam-se em expressá-lo até certa casa sem se preocupar com que viria depois.</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>Aos egípcios e babilônios juntaram-se os gregos na tentativa de compreender a natureza desses números.<span class="apple-converted-space"> </span><br />
Tal questão foi finalmente esclarecida a contento por volta do século XIX, em termos aritméticos, e com isso tornou-se possível justificar todas as questões até então nebulosas sobre o universo do números reais.</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>Entre os números irracionais o mais famoso é o "PI" que tem o seu valor expresso por 3,1415926535..............</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>Sua fama não é sem razão, pois quando menos esperamos deparamos com nosso amigo famoso como no caso das Pirâmide de Quéops, onde a circunferência da pirâmide dividida pelo dobro da altura (considere a altura como diâmetro) tem como resultado o famoso "PI".</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>Mas não acredite que isso seja só coincidência, obtemos o valor do "PI" dividindo o comprimento da circunferência pelo seu diâmetro.</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>Faça você o experimento. Arrume um barbante e meça por exemplo um disco de vinil. Com uma régua meça o diâmetro do mesmo, divida o comprimento fornecido pelo barbante pelo diâmetro fornecido pela régua e hei-lo que surge o nosso amigo o "PI".</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>Mas vá mais adiante e experimente fazer a mesma experiência com a borda de um copo, com um prato, com uma tampinha, ou com tudo que tiver a forma de uma circunferência e aí estará o famoso "PI".<span class="apple-converted-space"> </span><br />
A Matemática durante muitos séculos e até hoje é encarada como uma ciência fria, distante e de acesso a poucos, como se ela escolhesse a quem se mostrar.</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>É bem verdade que em tempos idos o acesso aos estudos de todas as ciências estava restrito a um público privilegiado como os nobres e aqueles de poder aquisitivo alto.</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>As mulheres só foi permitido o ensino das quatro operações fundamentais no final do século XIX, daí o postulado que o sexo feminino tem dificuldade para ciências exatas.</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>Mas preconceitos a parte, a área de ciências exatas é apaixonante .</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>Aqueles que tiverem a oportunidade de conhecer um pouco da história dos matemáticos famosos como Pitágoras, Euclides, Kramer, Laplace, Newton, Baskara Akaria, Arquimedes e tantos outros, poderão perceber que em comum todos tinham um coração extremamente apaixonado pela vida e por seus mistérios, tinham o olhar fixo no movimento do universo, acreditavam em Deus e suas descobertas eram feitas em honra e gloria Deste. Abriram mão da vida familiar, dos amigos, de todos os apelos da mocidade apenas para se dedicarem ao estudo e a formação de conceitos que permeiam até hoje todo o nosso conhecimento.</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>Eu em particular, tenho para mim, que estes homens falavam diretamente com Deus, que acessavam o Inconsciente Coletivo, que tinham livre acesso a outras dimensões.</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>Dizia Pitágoras: "O dia em que o homem descobrir o segredos dos números ele descobrirá os segredos do Universo".<span class="apple-converted-space"> </span><br />
"Deus é o maior matemático de todo Universo".</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>É bom lembrar que a primeira tabela de conversão de valores usada em numerologia foi elaborada por Pitágoras. Outra curiosidade é que a escola pitagórica tinha o hábito de transmitir o conhecimento aos seus discípulos ao ar livre, onde se buscava uma integração com a natureza e com o Universo.</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>Um dos mais destacados membros da Escola de Pitágoras, Filolau, dizia que todas as coisas têm um número e que sem os números nada se pode conceber ou compreender.</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>Para os pitagóricos, a harmônia do Universo, o movimento dos planetas, a vida animal e a vegetal, o som, a luz, tudo isso só podia ser explicado através dos números.</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>Os pitagóricos chegaram a atribuir qualidades curiosas aos números. Os números pares eram femininos e os ímpares, com exceção do 1, eram masculinos. O 5 era o símbolo do casamento, por ser a soma do primeiro número feminino o 2 com o primeiro número masculino, 3.</i></b></span></div><div style="color: red; font-size: 9pt; line-height: 11.25pt;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i>Euclides, considerado o pai da Geometria, tinha o hábito de traçar um circunferência no solo, colocar-se dentro e então entregar-se aos seus estudos.<span class="Apple-style-span" style="color: #555555;"></span></i></b></span><br />
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i><br />
</i></b></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtN2rRNY0P6fV3Y0tfza1p3VZGERx1-hwZGAqiYL17Iu735br1t5EMnS7RAaxgWHrjQPxUJqNMIXWPz0-gUC5daQp_ZrOB0Bv_4S_jbX-q4eY3qZPPq1gNuQ0zF4rZYjH5g8ulqyc4Uxvr/s1600/pi.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtN2rRNY0P6fV3Y0tfza1p3VZGERx1-hwZGAqiYL17Iu735br1t5EMnS7RAaxgWHrjQPxUJqNMIXWPz0-gUC5daQp_ZrOB0Bv_4S_jbX-q4eY3qZPPq1gNuQ0zF4rZYjH5g8ulqyc4Uxvr/s1600/pi.png" /></a></div><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i> </i></b></span><br />
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt;"><b><i><br />
</i></b></span></div><div><div style="line-height: 11.25pt;"><b><i></i></b></div><div><div style="color: black; font-family: "Times New Roman"; font-size: 9pt; font-style: normal; font-weight: normal; line-height: 11.25pt; margin: 0px;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, sans-serif; line-height: 13px;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"></span></i></b></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="color: black; font-family: "Times New Roman"; font-size: 9pt; font-style: normal; font-weight: normal; line-height: 11.25pt; margin: 0px;"><b><i><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt; line-height: 14px;"><span class="apple-style-span">O π tem, como todos sabemos, um valor aproximado de 3,14. No entanto, ele é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a razão entre dois números inteiros naturais. Para além de irracional é também um número transcendente, o que formalmente quer dizer que não é raiz de nenhuma equação polinomial a coeficientes inteiros. Isto na prática quer dizer que é impossível exprimir π com um número finito de números inteiros, de fracções racionais ou suas raízes. Apenas podemos saber o valor aproximado do π, pois não conseguimos prever o seu valor à medida que formos considerando um número cada vez maior de casas decimais.</span><br />
<br />
<span class="apple-style-span">Actualmente conhecem-se mais de 50 mi milhões de casas decimais de π. Podemos perguntar: mas então não saber exactamente o valor de π não tem problemas práticos, como por exemplo na engenharia ou na física teórica? A resposta pode dar-se com um exemplo: é apenas necessário conhecer 39 casas decimais de π para calcular “o perímetro de um circulo que cerque o universo conhecido com um erro que não ultrapassa o raio de um átomo de hidrogénio”</span></span></span></i></b></i></b><br />
<b><i><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red;"><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt; line-height: 14px;"><span class="apple-style-span"></span></span></span></i></b></i></b><span class="Apple-style-span" style="font-size: x-small; line-height: normal;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> O valor de </span></span></i></b></span><span class="Apple-style-span" style="font-size: x-small;"><b><i><b><i><span class="Apple-style-span" style="font-family: Symbol; line-height: normal;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">p</span></span></i></b></i></b></span></div><div style="line-height: 11.25pt;"><br />
</div><div style="line-height: 11.25pt;"><b><i></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><br />
</i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span lang="PT">A primeira referência ao valor de </span><span lang="PT">p</span><span lang="PT"> (pi) aparece na Bíblia, no Primeiro Livro dos Reis, 7, versículo 23: “<i>Fez mais o mar de fundição, de dez côvados, de uma borda até à outra borda, redondo ao redor, e de cinco côvados ao alto; e um cordão de trinta côvados o cingia, em redor</i>.” Aqui, o valor de </span><span lang="PT">p</span><span lang="PT"> é 3, bastante inexacto, portanto.</span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span lang="PT">Desde sempre, este número mágico despertou a atenção dos estudiosos. Os historiadores calculam que, desde 2000 a.C., os homens têm consciência de que a razão entre a circunferência e o seu diâmetro é igual para todos os círculos. Deram conta que, se duplicarem a distância através de um círculo, então também a distância em volta dele é igual ao dobro. Em notação algébrica, diremos que</span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><stroke joinstyle="miter"><formulas><f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><f eqn="sum @0 1 0"><f eqn="sum 0 0 @1"><f eqn="prod @2 1 2"><f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><f eqn="sum @0 0 1"><f eqn="prod @6 1 2"><f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><f eqn="sum @8 21600 0"><f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><f eqn="sum @10 21600 0"></f></f></f></f></f></f></f></f></f></f></f></f></formulas><path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><lock aspectratio="t" v:ext="edit"></lock></path></stroke></shapetype><shape alt="http://www.arlindo-correia.com/0409011.gif" id="Imagem_x0020_1" o:spid="_x0000_i1028" style="height: 45.75pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 99pt;" type="#_x0000_t75"><imagedata o:title="0409011" src="file:///C:\Users\Karoline\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.gif"></imagedata></shape></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span lang="PT">em que o valor de </span><span lang="PT">p</span><span lang="PT"> é constante. Note-se que o nome “pi”, usando a letra grega, só foi introduzido em 1706 por William Jones (1675-1749).</span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span lang="PT"> O valor exacto de </span><span lang="PT">p</span><span lang="PT"> desde cedo despertou o interesse dos matemáticos. </span><a href="http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Archimedes.html"><span lang="PT"><span style="color: #4286d9;">Arquimedes</span></span></a> <span lang="PT">de Siracusa (287-212 a.C.) chegou ao valor de 22/7 ou seja 3,142857…</span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span lang="PT"> Só no sec. XVIII é que se provou que </span><span lang="PT">p</span><span lang="PT"> é um <a href="http://www.arlindo-correia.com/040901.html#2"><span style="color: #4286d9;">número irracional</span></a>, isto é que não pode ser expresso como uma fracção, própria ou imprópria. Em termos práticos, isso significa que o número de casas decimais que </span><span lang="PT">p</span><span lang="PT"> pode ter é infinito.</span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span lang="PT"> No sec. XIX, demonstrou-se que </span><span lang="PT">p</span><span lang="PT"> é um <a href="http://www.arlindo-correia.com/040901.html#3"><span style="color: #4286d9;">número transcendental</span></a>, isto é, não pode ser expresso por uma equação algébrica com coeficientes racionais.</span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span lang="PT"> Como corolário, deve dizer-se que é impossível fazer a “quadratura do círculo”, isto é, desenhar um quadrado com o mesmo perímetro de determinado círculo.</span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span lang="PT"> Podem apreciar-se na tabela a seguir os progressos feitos no cálculo do valor de </span><span lang="PT">p</span><span lang="PT">. Só no sec. XX., nos anos 50, é que se começaram a utilizar computadores para o cálculo das casas decimais de </span><span lang="PT">p</span><span lang="PT">.</span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><br />
</i></b></div><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span lang="PT"> Os valores de</span><span lang="PT"> </span><span lang="PT">p</span><span lang="PT"> </span><span lang="PT">através dos séculos</span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><br />
</i></b></div><div align="center" style="line-height: 11.25pt;"><table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoNormalTable" style="border-bottom-style: none; border-collapse: collapse; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; width: 427px;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Pessoas/Povo</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ano</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Valor</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Babilónia</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">~2000 B.C.</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">3 1/8</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Egípcios</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">~2000 B.C.</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">(16/9)^2= 3.1605</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Chineses</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">~1200 B.C.</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">3</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Antigo Testamento</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">~550 B.C.</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">3</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Arquimedes</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">~300 B.C.</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">encontra 3 10/71<Pi<3 1/7<br />
usa 211875/67441=3.14163</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ptolomeu</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">~200 A.D.</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">377/120=3.14166...</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Chung Huing</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">~300 A.D.</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">raiz(10)=3.16...</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Wang Fau</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">263 A.D.</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">157/50=3.14</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Tsu Chung-Chi</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">~500 A.D.</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">3.1415926<Pi<3.1415929</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Aryabhatta</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">~500</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">3.1416</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Brahmagupta</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">~600</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">raiz(10)</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><a href="http://www.arlindo-correia.com/040901.html#1"><span style="color: #4286d9;">Al-Khwarizmi</span></a></span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">820</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">3.1416</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Fibonacci</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">1220</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">3.141818</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ludolph van Ceulen</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">1596</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Calcula <span lang="PT">p</span> até 35 casas decimais</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Machin</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">1706</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">100 casas decimais</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Lambert</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">1766</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Prova que<span lang="PT">p</span><span lang="PT"> é irracional</span></span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Richter</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">1855</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">500 casas decimais</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Lindeman</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">1882</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span lang="PT">Prova que </span><span lang="PT">p</span><span lang="PT"> é transcendental</span></span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ferguson</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">1947</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">808 casas decimais</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Computador Pegasus</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">1957</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">7,840 casas decimais</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">IBM 7090</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">1961</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">100,000 casas decimais</span></i></b></div></td></tr>
<tr><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left: #ff3300 1pt inset; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top: #ff3300 1pt inset; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 99.75pt;" width="133"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">CDC 6600</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 71.25pt;" width="95"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">1967</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: #ff3300 1pt inset; border-left-style: none; border-right: #ff3300 1pt inset; border-top-style: none; mso-border-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-left-alt: inset #FF3300 .75pt; mso-border-top-alt: inset #FF3300 .75pt; padding-bottom: 0.75pt; padding-left: 0.75pt; padding-right: 0.75pt; padding-top: 0.75pt; width: 140.25pt;" width="187"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">500,000 casas decimais</span></i></b></div></td></tr>
</tbody></table></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><br />
</i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span lang="PT">O valor de </span><span lang="PT">p</span><span lang="PT"> com 10 000 casas decimais pode ser visto </span><span lang="PT"><a href="http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/ISC/dataB/isc/C/pi10000.txt"><span style="color: #4286d9;">aqui</span></a></span><span lang="PT">. Hoje é possível calculá-lo com mais de dez mil milhões de casas decimais (para quê?)</span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span lang="PT">Eis algumas das fórmulas utilizadas para calcular o valor de </span><span lang="PT">p</span><span lang="PT"> em computador:</span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><a href="http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Viete.html"><span style="color: #4286d9;">François Viète (1540-1603)</span></a> determinou que:</span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><shape alt="http://www.arlindo-correia.com/0409012.gif" id="Imagem_x0020_2" o:spid="_x0000_i1027" style="height: 63.75pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 282pt;" type="#_x0000_t75"><imagedata o:title="0409012" src="file:///C:\Users\Karoline\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.gif"></imagedata></shape></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><a href="http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Wallis.html"><span style="color: #4286d9;">John Wallis (1616-1703)</span></a> mostrou que:</span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><shape alt="http://www.arlindo-correia.com/0409013.gif" id="Imagem_x0020_3" o:spid="_x0000_i1026" style="height: 45.75pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 131.25pt;" type="#_x0000_t75"><imagedata o:title="0409013" src="file:///C:\Users\Karoline\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.gif"></imagedata></shape></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><a href="http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Euler.html"><span style="color: #4286d9;">Euler (1707-1783)</span></a> construiu esta fórmula:</span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><shape alt="http://www.arlindo-correia.com/0409014.gif" id="Imagem_x0020_4" o:spid="_x0000_i1025" style="height: 43.5pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 70.5pt;" type="#_x0000_t75"><imagedata o:title="0409014" src="file:///C:\Users\Karoline\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.gif"></imagedata></shape></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><br />
</i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span lang="PT">Para conseguir decorar valores longos de </span><span lang="PT">p</span><span lang="PT">, começaram a ser inventadas mnemónicas, como esta, com 23 casas decimais, em que o número das letras de cada palavra representa um algarismo:</span></span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span lang="PT"> </span><i><span lang="EN-US">How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. </span></i><i>All of thy geometry, Herr </i><a href="http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Planck.html"><span style="color: #4286d9;">Planck</span></a><i>, </i><i>is fairly hard...</i>:</span></i></b></div><div class="MsoNormal" style="line-height: 11.25pt; margin: 0px;"><b><i><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span style="line-height: 14px;"><span class="apple-style-span"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 15px;"><b><i></i></b></span></span></span></span></i></b></i></b></div><div style="display: inline !important; line-height: 11.25pt;"><div class="MsoNormal" style="display: inline !important; line-height: normal; margin-left: 11.25pt;"><b><i><b><i><span class="Apple-style-span" style="color: red; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><b><i>3.14159265358979323846264...</i></b></span></i></b></i></b></div></div></div></div></div>O numero do PIhttp://www.blogger.com/profile/09372828817269640490noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3598985135861347652.post-20009160906028992712011-04-26T07:12:00.000-07:002011-04-26T07:12:22.639-07:00como usamos o numero pi no dia a dia<h3 class="post-title entry-title" style="color: yellow; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; font-size: 13px; font: normal normal bold 22px/normal Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; line-height: 18px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; position: relative;">Como Aplicamos o Número Pi no Dia-a-Dia</h3><div class="post-header" style="color: white; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 1.6; margin-bottom: 1em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><div class="post-header-line-1"></div></div><div class="post-body entry-content" style="color: white; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 1.4; position: relative; width: 666px;">Nos usamos o numero pi para medir comprimento de uma circunferência e d o diâmetro, temos:<br />
c/d = pi<br />
c = pi x d Como o comprimento de uma circunferência é dado por c = pi . d, é fácil entender que a solução da equação de Aryabhata:<br />
(4 + 100) x 8 + 62 000 = pi x 20 000<br />
104 x 8 + 62 000 = pi x 20 000<br />
832 + 62 000 = pi x 20 000<br />
62 832 = pi x 20 000<br />
62 832/20 000 = pi<br />
3,1416 = pi<br />
Quanto maior o número de casas decimais, melhor é a aproximação que se obtém para pi.<br />
Há pessoas que têm inventado frases, em diferentes línguas, para ajudar a memorizar π, em que o número de letras de cada palavra indica o respectivo algarismo. Por exemplo:<br />
“Sou o medo e temor constante do menino vadio” – 3,14159265<br />
“Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages” - 3,1415926535<br />
“May I have a large container of coffee” - 3,1415926<br />
Existem muitas formas de se obter o valor exato de π e alguns métodos aproximados. Consideramos que [[π]] é um número irracional e transcendente, de forma que os métodos de cálculo sempre envolvem aproximações, aproximações sucessivas e/ou séries infinitas de somas, multiplicações e divisões.<br />
O maior cálculo de casas decimais até o século XV foi 3,1415926535897932 feito pelo matemático árabe al-Kashi. O matemático holandês Ludolph van Ceulen, no final do século XVI, calculou um valor de π com 35 casas decimais, começando com um polígono de 15 lados, dobrando o número de lados 37 vezes, e, logo em seguida, aumentando o número de lados. Por curiosidade, a sua esposa mandou gravar no seu túmulo o valor de π com as supracitadas 35 casas decimais.<br />
<br />
Hoje em dia é relativamente mais fácil, com os computadores modernos que calculam até bilhões de casas decimais para π.<br />
<br />
Uma aproximação de π que apresenta diferença de aproximadamente 2,7e-7 é a seguinte:<br />
<br />
<br />
<br />
Baseado no método de Arquimedes é possível formular uma representação matemática para o cálculo de pi, eficiente para um polígono de qualquer número de lados.<br />
<br />
Considerando um polígono de n lados e raio 1, temos a medida do lado expressa pela lei dos cossenos:<br />
<br />
a2 = b2 + c2 − 2bccosα<br />
<br />
Temos formado um triângulo isósceles, de base l e lados r=1:<br />
<br />
l2 = r2 + r2 − 2r2cosα<br />
l2 = 12 + 12 − 2cosα<br />
l2 = 2 − 2cosα<br />
<br />
<br />
O ângulo do triângulo isósceles no centro do polígono é expresso por 360º dividido pelo número de lados (n), portanto:<br />
<br />
<br />
<br />
O francês François Viète, estudando o método de Arquimedes, desenvolveu a seguinte série para o cálculo de π em 1593:<br />
<br />
<br />
Outra série conhecida para o cálculo de π foi desenvolvida por Leibniz em 1682, utilizando-se da série de Taylor para a função arctan(x), tomando-se x=1 e, por conseguinte, arctan(1)=π/4.<br />
<br />
Johann Heinrich Lambert publicou, em 1770, uma série na forma de divisões infinitas:<br />
<br />
<br />
Um dos estudos dos métodos de cálculo numérico é obter a raiz de uma função. Quando consideramos a função f(x) = sin(x) sabemos que f(π) = sin(π) = 0. Os principais métodos do calculo numérico para a obtenção da raiz da função f(x) podem incluir uma busca binária no intervalo [a,b] onde se sabemos que f(3) = sin(3) > 0 (a = 3) e f(4) = sin(4) < 0 (b = 4) então podemos aprimorar o intervalo para:<br />
<br />
<br />
<br />
Partindo-se do intervalo \pi \in [3, 4] esse método permite refiná-lo sucessivamente para os intervalos<br />
<br />
e assim sucessivamente.<br />
<br />
Ainda no cálculo numérico, o método de Newton-Raphson, mais eficiente que uma busca binária permite obter aproximações sucessivas para a raiz da função f(x) = sin(x) utilizando um ponto inicial x0 exigindo que conheçamos f'(x) = cos(x).<br />
<br />
Tomando-se x0 = 3 e considerando-se que por Newton-Rapson<br />
<br />
<br />
temos a seguinte série para π<br />
<br />
1. x0 = 3<br />
2 . x1 = 3,14254654<br />
2. x2 = 3,14159265<br />
Um método otimizado de cálculo numérico para o cálculo de π através das raízes de uma função pode ser obtido pela simplificação<br />
<br />
xi + 1 = xi + sin(xi),<br />
<br />
pois na proximidade de π,<br />
<br />
Notemos que nesses algoritmos de cálculo numérico considera-se π como trancendental, uma vez que a função f(x) = sin(x) não pode ser escrita através de um polinômio finito de coeficientes racionais; a função f(x) = sin(x) é obtida através da expansão da série de Taylor.<br />
<br />
O numero pi é igual a : 0,3333333... = 0,3<br />
<br />
1,6666666... = 1,6<br />
<br />
12,121212... = 12,12<br />
<br />
0,9999999... = 0,9<br />
<br />
7,1333333... = 7,13<br />
<br />
0,333333... = 0,(3) = 0,3<br />
<br />
3,636363... = 3,(63) = 3,63</div>O numero do PIhttp://www.blogger.com/profile/09372828817269640490noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3598985135861347652.post-22191498870655007182011-04-26T05:00:00.000-07:002011-04-26T05:00:50.520-07:00<div class="post hentry"><a href="" name="4178818903004336903"></a> <h3 class="post-title entry-title"><a href="http://cieac-numero-pi.blogspot.com/2011/03/como-aplicamos-o-numero-pi-no-dia-dia.html">Como Aplicamos o Número Pi no Dia-a-Dia</a> </h3><div class="post-header"> </div><div class="post-body entry-content">Nos usamos o numero pi para medir comprimento de uma circunferência e d o diâmetro, temos:<br />
c/d = pi <br />
c = pi x d Como o comprimento de uma circunferência é dado por c = pi . d, é fácil entender que a solução da equação de Aryabhata: <br />
(4 + 100) x 8 + 62 000 = pi x 20 000 <br />
104 x 8 + 62 000 = pi x 20 000 <br />
832 + 62 000 = pi x 20 000 <br />
62 832 = pi x 20 000 <br />
62 832/20 000 = pi <br />
3,1416 = pi <br />
Quanto maior o número de casas decimais, melhor é a aproximação que se obtém para pi. <br />
Há pessoas que têm inventado frases, em diferentes línguas, para ajudar a memorizar π, em que o número de letras de cada palavra indica o respectivo algarismo. Por exemplo: <br />
“Sou o medo e temor constante do menino vadio” – 3,14159265 <br />
“Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages” - 3,1415926535 <br />
“May I have a large container of coffee” - 3,1415926 <br />
Existem muitas formas de se obter o valor exato de π e alguns métodos aproximados. Consideramos que [[π]] é um número irracional e transcendente, de forma que os métodos de cálculo sempre envolvem aproximações, aproximações sucessivas e/ou séries infinitas de somas, multiplicações e divisões.<br />
O maior cálculo de casas decimais até o século XV foi 3,1415926535897932 feito pelo matemático árabe al-Kashi. O matemático holandês Ludolph van Ceulen, no final do século XVI, calculou um valor de π com 35 casas decimais, começando com um polígono de 15 lados, dobrando o número de lados 37 vezes, e, logo em seguida, aumentando o número de lados. Por curiosidade, a sua esposa mandou gravar no seu túmulo o valor de π com as supracitadas 35 casas decimais.<br />
<br />
Hoje em dia é relativamente mais fácil, com os computadores modernos que calculam até bilhões de casas decimais para π.<br />
<br />
Uma aproximação de π que apresenta diferença de aproximadamente 2,7e-7 é a seguinte:<br />
<br />
<br />
<br />
Baseado no método de Arquimedes é possível formular uma representação matemática para o cálculo de pi, eficiente para um polígono de qualquer número de lados.<br />
<br />
Considerando um polígono de n lados e raio 1, temos a medida do lado expressa pela lei dos cossenos:<br />
<br />
a2 = b2 + c2 − 2bccosα<br />
<br />
Temos formado um triângulo isósceles, de base l e lados r=1:<br />
<br />
l2 = r2 + r2 − 2r2cosα<br />
l2 = 12 + 12 − 2cosα<br />
l2 = 2 − 2cosα<br />
<br />
<br />
O ângulo do triângulo isósceles no centro do polígono é expresso por 360º dividido pelo número de lados (n), portanto:<br />
<br />
<br />
<br />
O francês François Viète, estudando o método de Arquimedes, desenvolveu a seguinte série para o cálculo de π em 1593:<br />
<br />
<br />
Outra série conhecida para o cálculo de π foi desenvolvida por Leibniz em 1682, utilizando-se da série de Taylor para a função arctan(x), tomando-se x=1 e, por conseguinte, arctan(1)=π/4.<br />
<br />
Johann Heinrich Lambert publicou, em 1770, uma série na forma de divisões infinitas:<br />
<br />
<br />
Um dos estudos dos métodos de cálculo numérico é obter a raiz de uma função. Quando consideramos a função f(x) = sin(x) sabemos que f(π) = sin(π) = 0. Os principais métodos do calculo numérico para a obtenção da raiz da função f(x) podem incluir uma busca binária no intervalo [a,b] onde se sabemos que f(3) = sin(3) > 0 (a = 3) e f(4) = sin(4) < 0 (b = 4) então podemos aprimorar o intervalo para:<br />
<br />
<br />
<br />
Partindo-se do intervalo \pi \in [3, 4] esse método permite refiná-lo sucessivamente para os intervalos<br />
<br />
e assim sucessivamente.<br />
<br />
Ainda no cálculo numérico, o método de Newton-Raphson, mais eficiente que uma busca binária permite obter aproximações sucessivas para a raiz da função f(x) = sin(x) utilizando um ponto inicial x0 exigindo que conheçamos f'(x) = cos(x).<br />
<br />
Tomando-se x0 = 3 e considerando-se que por Newton-Rapson<br />
<br />
<br />
temos a seguinte série para π<br />
<br />
1. x0 = 3<br />
2 . x1 = 3,14254654<br />
2. x2 = 3,14159265<br />
Um método otimizado de cálculo numérico para o cálculo de π através das raízes de uma função pode ser obtido pela simplificação<br />
<br />
xi + 1 = xi + sin(xi),<br />
<br />
pois na proximidade de π, <br />
<br />
Notemos que nesses algoritmos de cálculo numérico considera-se π como trancendental, uma vez que a função f(x) = sin(x) não pode ser escrita através de um polinômio finito de coeficientes racionais; a função f(x) = sin(x) é obtida através da expansão da série de Taylor.<br />
<br />
O numero pi é igual a : 0,3333333... = 0,3<br />
<br />
1,6666666... = 1,6<br />
<br />
12,121212... = 12,12<br />
<br />
0,9999999... = 0,9<br />
<br />
7,1333333... = 7,13<br />
<br />
0,333333... = 0,(3) = 0,3<br />
<br />
3,636363... = 3,(63) = 3,63</div></div>O numero do PIhttp://www.blogger.com/profile/09372828817269640490noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3598985135861347652.post-54193241459655532602011-04-22T05:59:00.001-07:002011-04-22T06:00:32.492-07:00<span class="Apple-style-span" style="color: #414b56; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; line-height: 15px;"></span><br />
<h3 style="color: #003366; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; letter-spacing: -1px; margin-bottom: 5px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 5px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 5px;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: small;">Por que é tão difícil calcular o PI?</span></h3><div align="justify" style="line-height: 15px;">A principal razão é que PI não é uma fração. Com efeito, se PI pudesse ser escrito como uma fração m / n, seu cálculo poderia</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">ou se resumir em buscar o valor de tais numeros inteiros m e n</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">ou explorar a periodicidade de sua representação decimal<br />
( por exemplo, se fosse verdade que PI = 22 / 7 = 3.142857 142857 142857 ..., então nos bastaria achar o valor da parte inteira, 3, e o bloco 142857 que se repete indefinidamente )</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">O fato de que, por mais de 2000 anos, ninguém tivesse conseguido explorar nenhuma das duas possibilidades acima é exatamente o que sugeriu que PI não deva ser uma fração. A verificação rigorosa desse fato, ou seja a demonstração da irracionalidade de PI, veio só com Lambert, em 1 761.<br />
<br />
Em verdade, por si só, a irracionalidade de PI não seria suficiente para determinar a dificuldade de seu cálculo; com efeito, existem irracionais de representação decimal previsível, e então fáceis de calcular, como é o caso de 3.10110111011110... . PI é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente.</div><div align="justify" style="line-height: 15px;"><strong>O cálculo de aproximações práticas do PI</strong></div><div align="justify" style="line-height: 15px;">Dada a ubiqüidade do PI, já comentada acima, é mais do que natural e importante que desejemos calcular seu valor. Contudo, dada sua irracionalidade imprevisível, jamais saberemos seu valor exato e isso nos leva a indagar: por que não nos contentarmos com aproximações PRATICAS do PI?</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">Nas lides diárias, dificilmente precisaremos conhecer uma aproximação melhor do que 3.14, enquanto que a vasta maioria dos calculos científicos não precisa saber mais do que 3.1416 e somente cálculos matemáticos muito exigentes, como o da obtenção de valores muito exatos das funções trigonométricas, precisaria saber mais de 10 dígitos do PI.</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">O mais antigo matemático que se preocupou com a obtenção de aproximações PRATICAS do PI foi Archimedes c. 200AC, em seu trabalho Sobre a medida do círculo. Usando o método dos polígonos, que descreveremos adiante, na proposição 3 desse trabalho ele mostra que:</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">a circunferência de qualquer círculo é maior do que três vezes seu diâmetro, e o excesso e' menor do que a sétima parte do diâmetro mas maior do que dez vezes sua septuagésima primeira parte</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">ou seja: 3 10/71 < PI < 3 1/7, o equivale a dizer, em frações decimais: 3.1408 < Pi < 3.1428.</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">O método dos polígonos envolve a obtenção de sucessivas delimitações da circunferência do círculo através do cálculo do perímetro de polígonos regulares inscritos e circunscritos, cujo número de lados vai sucessivamente dobrando. Consequentemente, o método é capaz, ao menos em princípio, de obter aproximações do valor do PI tão grandes quanto desejarmos. E' importante não esquecermos desse "em princípio" pois que Archimedes calculava com frações ordinárias e isso tornava seus cálculos extremamente penosos.<br />
Archimedes partiu de quadrados e chegou até aos hexacontatetrágonos ( = polígonos regulares de 64 lados ) e aí parou pois que achou que esses produziam um aproximação PRATICA do PI.<br />
<br />
Insistimos: ele parou aí porque considerava ter obtido uma aproximação prática e não porque não tinha condições de enfrentar o crescente volume de cálculos. Com efeito, Heron de Alexandria, in Metrika I, diz que Archimedes, em seu livro Plinthides kai kylindroi ( hoje, completamente perdido ), mostrou que: 211 875 / 67 441 < PI < 197 888 / 62 351<br />
( em frações decimais, corresponde a: 3.1416349 < PI < 3.1737742 )</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">e, certamente, teria condições de fazer ainda melhor se assim desejasse.</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">Em verdade, o costume de preferir usar aproximações cómodas do PI, em lugar de aproximações mais exatas, não iniciou com Archimedes. Os mesopotâmicos e os romanos conheciam várias aproximações para o PI, embora preferissem usar PI = 3 ( é o que fazia, por exemplo, o famoso arquiteto romano Vitruvius ).</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">Logo após Archimedes, Apollonios, num outro trabalho lamentavelmente perdido e entitulado Okytokion, obteve a hoje clássica e universal aproximação PI = 3.1416 ( que provavelmente ele escreveu como 3927 / 1250 ), mas reconhecia que a mesma não tinha a praticidade da 22/7 ( ou seja 3 + 1/7 ) de Archimedes.<br />
<br />
B. van der Waerden argumenta que o trabalho de Apollonios foi lentamente divulgado entre os matemáticos e astronomos indianos e chegou até a China onde Zu Chongzhi c. 450dC o teria aperfeiçoado para obter a estimativa 3.1415 926 < PI < 3.1415 927, que corresponde a calcular PI com sete dígitos corretos e que foi durante muitos séculos a mais exata aproximação conhecida para PI ( os livros de Zu Chongzhi foram perdidos, mas sabe-se que sua estimativa acima aparece no livro de Cálculo Infinitesimal, entitulado Zhui shu, que foi escrito por ele ou por seu filho, Zu Gengzhi, o qual foi um matemático ainda mais talentoso; o mais antigo relato que temos do cálculo do Pi por Zu Chongzhi aparece no comentário de Li Chunfeng do Jiu zhang suanshu, capítulo 1, problema 32 ).</div><div align="justify" style="line-height: 15px;"><strong>Por que calcular muitos dígitos do PI ?</strong></div><div align="justify" style="line-height: 15px;">Quanto ao porquê de se procurar calcular PI com um número de decimais cada vez maior se, sabe-se, que tais aproximações não terão valor prático:</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">ATE A SEGUNDA GUERRA:</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">desafio, o prazer que sente todo verdadeiro matemático de enfrentar um problema difícil</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">fama, o desejo de entrar para a História da Matemática<br />
Por exemplo, um dos mais famosos records no calculo do Pi foi o de William Shanks o qual, em 1 874, depois de 15 anos de cálculos, obteve os 707 primeiros dígitos do PI. Seu trabalho foi de força bruta, a base de lápis e papel, e mesmo com o surgimento de máquinas de calcular e os primeiros computadores, esse record só foi quebrado em 1 947, por D. Ferguson usando uma calculadora mecânica, ao obter 808 dígitos. Mas, o mais importante é observarmos que esse tipo de esforço louco ficou para o passado com o surgimento dos computadores eletrônicos digitais, durante a Segunda Guerra</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">ATUALMENTE:<br />
alem dos itens acima:</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">demonstrar a potência de novos métodos de cálculo</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">os progressos algorítmicos no cálculo do PI foram muito mais sensacionais do que os das máquinas. Isso foi muito bem colocado por Neal Carothers:<br />
"O cálculo dos 100 265 primeiros digitos do PI, em 1961, precisou de aproximadamente 105 000 operações aritméticas, enquanto que o algoritmo inventado pelos irmãos Borwein em 1984 precisou de apenas 112 operações aritméticas para obter os mesmos dígitos. Com meras 8 iterações desse algoritmo ( o que envolveu 56 operações aritméticas ) eles obtiveram em poucos segundos a aproximação que consumiu 15 anos da vida de Wm. Shanks".</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">estudar a estatística da distribuição dos dígitos do PI</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">conforme já mencionamos acima, um dos interesses em calcularmos grandes quantidades de dígitos do PI é podermos verificar se é ou não verdadeira a hipótese da distribuição aleatória de seus dígitos. Os cálculos já realizados tendem a confirmar essa conjectura. Por exemplo, examinando os 200 bilhões de dígitos iniciais do PI, Kanada e Takahashi obtiveram a seguinte distribuiçõo:</div><div align="justify" style="line-height: 15px;"><strong>DÍGITO NUMERO de OCORRÊNCIAS</strong><br />
<br />
0 20000030841<br />
1 19999914711<br />
2 20000136978<br />
3 20000069393<br />
4 19999921691<br />
5 19999917053<br />
6 19999881515<br />
7 19999967594<br />
8 20000291044<br />
9 19999869180</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">esses números de ocorrência estão bastante próximos dos esperados 20 000 000 000. Mais do que isso: os números de ocorrência tendem aos valores esperados com uma velocidade que está dentro do previsto pelo cálculo das probabilidades, conforme detalharemos adiante. </div><div align="justify" style="line-height: 15px;">demonstrar a potência de novos computadores:<br />
uma maneira prática de exibirmos a potência de um novo computador é anunciando que o mesmo possibilitou a quebra do record no número de algarismos calculados para PI.</div><div align="justify" style="line-height: 15px;"><br />
</div><div align="justify" style="line-height: 15px;">- feito por : Corinna Kelly, Rafaela, Luana, Yara, Vivia e Rebeca.</div>O numero do PIhttp://www.blogger.com/profile/09372828817269640490noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3598985135861347652.post-26045291513067663412011-04-22T05:58:00.000-07:002011-04-22T05:58:49.216-07:00<span class="Apple-style-span" style="color: #414b56; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; line-height: 15px;"></span><br />
<h3 style="color: #003366; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px; letter-spacing: -1px; margin-bottom: 5px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 5px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 5px;">Por que é tão difícil calcular o PI?</h3><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">A principal razão é que PI não é uma fração. Com efeito, se PI pudesse ser escrito como uma fração m / n, seu cálculo poderia</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">ou se resumir em buscar o valor de tais numeros inteiros m e n</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">ou explorar a periodicidade de sua representação decimal<br />
( por exemplo, se fosse verdade que PI = 22 / 7 = 3.142857 142857 142857 ..., então nos bastaria achar o valor da parte inteira, 3, e o bloco 142857 que se repete indefinidamente )</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">O fato de que, por mais de 2000 anos, ninguém tivesse conseguido explorar nenhuma das duas possibilidades acima é exatamente o que sugeriu que PI não deva ser uma fração. A verificação rigorosa desse fato, ou seja a demonstração da irracionalidade de PI, veio só com Lambert, em 1 761.<br />
<br />
Em verdade, por si só, a irracionalidade de PI não seria suficiente para determinar a dificuldade de seu cálculo; com efeito, existem irracionais de representação decimal previsível, e então fáceis de calcular, como é o caso de 3.10110111011110... . PI é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente.</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;"><strong>O cálculo de aproximações práticas do PI</strong></div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">Dada a ubiqüidade do PI, já comentada acima, é mais do que natural e importante que desejemos calcular seu valor. Contudo, dada sua irracionalidade imprevisível, jamais saberemos seu valor exato e isso nos leva a indagar: por que não nos contentarmos com aproximações PRATICAS do PI?</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">Nas lides diárias, dificilmente precisaremos conhecer uma aproximação melhor do que 3.14, enquanto que a vasta maioria dos calculos científicos não precisa saber mais do que 3.1416 e somente cálculos matemáticos muito exigentes, como o da obtenção de valores muito exatos das funções trigonométricas, precisaria saber mais de 10 dígitos do PI.</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">O mais antigo matemático que se preocupou com a obtenção de aproximações PRATICAS do PI foi Archimedes c. 200AC, em seu trabalho Sobre a medida do círculo. Usando o método dos polígonos, que descreveremos adiante, na proposição 3 desse trabalho ele mostra que:</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">a circunferência de qualquer círculo é maior do que três vezes seu diâmetro, e o excesso e' menor do que a sétima parte do diâmetro mas maior do que dez vezes sua septuagésima primeira parte</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">ou seja: 3 10/71 < PI < 3 1/7, o equivale a dizer, em frações decimais: 3.1408 < Pi < 3.1428.</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">O método dos polígonos envolve a obtenção de sucessivas delimitações da circunferência do círculo através do cálculo do perímetro de polígonos regulares inscritos e circunscritos, cujo número de lados vai sucessivamente dobrando. Consequentemente, o método é capaz, ao menos em princípio, de obter aproximações do valor do PI tão grandes quanto desejarmos. E' importante não esquecermos desse "em princípio" pois que Archimedes calculava com frações ordinárias e isso tornava seus cálculos extremamente penosos.<br />
Archimedes partiu de quadrados e chegou até aos hexacontatetrágonos ( = polígonos regulares de 64 lados ) e aí parou pois que achou que esses produziam um aproximação PRATICA do PI.<br />
<br />
Insistimos: ele parou aí porque considerava ter obtido uma aproximação prática e não porque não tinha condições de enfrentar o crescente volume de cálculos. Com efeito, Heron de Alexandria, in Metrika I, diz que Archimedes, em seu livro Plinthides kai kylindroi ( hoje, completamente perdido ), mostrou que: 211 875 / 67 441 < PI < 197 888 / 62 351<br />
( em frações decimais, corresponde a: 3.1416349 < PI < 3.1737742 )</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">e, certamente, teria condições de fazer ainda melhor se assim desejasse.</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">Em verdade, o costume de preferir usar aproximações cómodas do PI, em lugar de aproximações mais exatas, não iniciou com Archimedes. Os mesopotâmicos e os romanos conheciam várias aproximações para o PI, embora preferissem usar PI = 3 ( é o que fazia, por exemplo, o famoso arquiteto romano Vitruvius ).</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">Logo após Archimedes, Apollonios, num outro trabalho lamentavelmente perdido e entitulado Okytokion, obteve a hoje clássica e universal aproximação PI = 3.1416 ( que provavelmente ele escreveu como 3927 / 1250 ), mas reconhecia que a mesma não tinha a praticidade da 22/7 ( ou seja 3 + 1/7 ) de Archimedes.<br />
<br />
B. van der Waerden argumenta que o trabalho de Apollonios foi lentamente divulgado entre os matemáticos e astronomos indianos e chegou até a China onde Zu Chongzhi c. 450dC o teria aperfeiçoado para obter a estimativa 3.1415 926 < PI < 3.1415 927, que corresponde a calcular PI com sete dígitos corretos e que foi durante muitos séculos a mais exata aproximação conhecida para PI ( os livros de Zu Chongzhi foram perdidos, mas sabe-se que sua estimativa acima aparece no livro de Cálculo Infinitesimal, entitulado Zhui shu, que foi escrito por ele ou por seu filho, Zu Gengzhi, o qual foi um matemático ainda mais talentoso; o mais antigo relato que temos do cálculo do Pi por Zu Chongzhi aparece no comentário de Li Chunfeng do Jiu zhang suanshu, capítulo 1, problema 32 ).</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;"><strong>Por que calcular muitos dígitos do PI ?</strong></div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">Quanto ao porquê de se procurar calcular PI com um número de decimais cada vez maior se, sabe-se, que tais aproximações não terão valor prático:</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">ATE A SEGUNDA GUERRA:</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">desafio, o prazer que sente todo verdadeiro matemático de enfrentar um problema difícil</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">fama, o desejo de entrar para a História da Matemática<br />
Por exemplo, um dos mais famosos records no calculo do Pi foi o de William Shanks o qual, em 1 874, depois de 15 anos de cálculos, obteve os 707 primeiros dígitos do PI. Seu trabalho foi de força bruta, a base de lápis e papel, e mesmo com o surgimento de máquinas de calcular e os primeiros computadores, esse record só foi quebrado em 1 947, por D. Ferguson usando uma calculadora mecânica, ao obter 808 dígitos. Mas, o mais importante é observarmos que esse tipo de esforço louco ficou para o passado com o surgimento dos computadores eletrônicos digitais, durante a Segunda Guerra</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">ATUALMENTE:<br />
alem dos itens acima:</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">demonstrar a potência de novos métodos de cálculo</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">os progressos algorítmicos no cálculo do PI foram muito mais sensacionais do que os das máquinas. Isso foi muito bem colocado por Neal Carothers:<br />
"O cálculo dos 100 265 primeiros digitos do PI, em 1961, precisou de aproximadamente 105 000 operações aritméticas, enquanto que o algoritmo inventado pelos irmãos Borwein em 1984 precisou de apenas 112 operações aritméticas para obter os mesmos dígitos. Com meras 8 iterações desse algoritmo ( o que envolveu 56 operações aritméticas ) eles obtiveram em poucos segundos a aproximação que consumiu 15 anos da vida de Wm. Shanks".</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">estudar a estatística da distribuição dos dígitos do PI</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">conforme já mencionamos acima, um dos interesses em calcularmos grandes quantidades de dígitos do PI é podermos verificar se é ou não verdadeira a hipótese da distribuição aleatória de seus dígitos. Os cálculos já realizados tendem a confirmar essa conjectura. Por exemplo, examinando os 200 bilhões de dígitos iniciais do PI, Kanada e Takahashi obtiveram a seguinte distribuiçõo:</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;"><strong>DÍGITO NUMERO de OCORRÊNCIAS</strong><br />
<br />
0 20000030841<br />
1 19999914711<br />
2 20000136978<br />
3 20000069393<br />
4 19999921691<br />
5 19999917053<br />
6 19999881515<br />
7 19999967594<br />
8 20000291044<br />
9 19999869180</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">esses números de ocorrência estão bastante próximos dos esperados 20 000 000 000. Mais do que isso: os números de ocorrência tendem aos valores esperados com uma velocidade que está dentro do previsto pelo cálculo das probabilidades, conforme detalharemos adiante. </div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">demonstrar a potência de novos computadores:<br />
uma maneira prática de exibirmos a potência de um novo computador é anunciando que o mesmo possibilitou a quebra do record no número de algarismos calculados para PI.</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;"><br />
</div><div align="justify" style="font-size: 11px; line-height: 15px;">- feito por : Corinna Kelly, Rafaela, Luana, Yara, Vivia e Rebeca.<br />
</div>O numero do PIhttp://www.blogger.com/profile/09372828817269640490noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3598985135861347652.post-30908436860370908472011-04-12T17:26:00.000-07:002011-04-13T17:22:33.443-07:00<span class="mw-headline"></span><br />
<span class="mw-headline"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;"><strong>Notação</strong></span></span><br />
<br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Os primeiros a utilizarem a letra grega <img alt="\scriptstyle{\pi}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/a/f/4af6c37b09cf72658a73222be841877b.png" /> foram os matemáticos ingleses, mas para designar a circunferência de um círculo. O primeiro a utilizar definição atual foi </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/William_Jones_(matem%C3%A1tico)" title="William Jones (matemático)"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">William Jones</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">. Entretanto foi só após </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Leonhard_Euler"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Leonhard Euler</span></a><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;"> utilizá-la que houve aceitação da notação pela comunidade científica.</span></span><br />
<h2><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;"><span class="mw-headline" id="Valor_de_.CF.80">Valor de <span class="texhtml">π</span></span></span></span></h2><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">O valor de <span class="texhtml">π</span> pertence aos </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/N%C3%BAmero_irracional" title="Número irracional"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">números irracionais</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">. Para a maioria dos cálculos simples é comum aproximar <span class="texhtml">π</span> por 3,14. Uma boa parte das calculadoras científicas de 8 dígitos aproxima <span class="texhtml">π</span> por 3,1415927. Para cálculos mais precisos pode-se utilizar <img alt="\pi \cong 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/6/4/864e682acc3a9d677b5b8cbf58060287.png" /> com 52 casas decimais.Para cálculos ainda mais precisos pode-se obter aproximações de <span class="texhtml">π</span> através de algoritmos computacionais.</span><br />
<h2><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;"> <span class="mw-headline" id="Aproxima.C3.A7.C3.B5es_para_.CF.80">Aproximações para <span class="texhtml">π</span></span></span></span></h2><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Desde a </span><a class="mw-redirect" href="http://www.blogger.com/wiki/Antiguidade" title="Antiguidade"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Antiguidade</span></a><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;">, foram encontradas várias aproximações de <span class="texhtml">π</span> para o cálculo da área do círculo. Entre os egípcios, por exemplo no papiro de Ahmes, o valor atribuído a <span class="texhtml">π</span> seria <img alt="\scriptstyle \left ( \frac{4}{3} \right )^3" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/2/a/d2a79ea7996818c65a64d3a0f77d4acc.png" />, embora também seja encontrado o valor <img alt="\scriptstyle 3 \frac{1}{6}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/6/0/360e2350b566e7747e97e585a4549feb.png" />. Na Bíblia (1 Reis 7:23) é possível encontrar que os hebreus utilizavam o valor 3 como aproximação de <span class="texhtml">π</span> . Entre os babilônios, era comum o uso do valor 3 para calcular a área do círculo, apesar de o valor <img alt="\scriptstyle 3 \frac{1}{8}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/8/f/f8fee2a251211381b02020738bec3d21.png" /> já ser conhecido como aproximação.</span></span><br />
<h2><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;"> <span class="mw-headline" id="M.C3.A9todos_de_c.C3.A1lculo">Métodos de cálculo</span></span></span></h2><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Existem muitas formas de se obter o valor exato de <span class="texhtml">π</span> e alguns métodos aproximados. Consideramos que [[<span class="texhtml">π</span>]] é um número </span><a class="mw-redirect" href="http://www.blogger.com/wiki/Irracional" title="Irracional"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">irracional</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> e transcendente, de forma que os métodos de cálculo sempre envolvem aproximações, aproximações sucessivas e/ou séries infinitas de somas, multiplicações e divisões.</span><br />
<h3><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;"> <span class="mw-headline" id="M.C3.A9todo_cl.C3.A1ssico_para_o_c.C3.A1lculo_de_.CF.80">Método clássico para o cálculo de <span class="texhtml">π</span></span></span></span></h3><div class="thumb tright"><div class="thumbinner" style="width: 302px;"><a class="image" href="http://www.blogger.com/wiki/Ficheiro:Archimedes_pi.svg"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="" class="thumbimage" height="100" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Archimedes_pi.svg/300px-Archimedes_pi.svg.png" width="300" /></span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> </span><br />
<div class="thumbcaption"><div class="magnify"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;">Método do clássico para o cálculo de <span class="texhtml">π</span></span></span></div></div></div><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">A primeira tentativa rigorosa de encontrar <span class="texhtml">π</span> deve-se a um dos mais conhecidos matemáticos da </span><a class="mw-redirect" href="http://www.blogger.com/wiki/Antig%C3%BCidade" title="Antigüidade"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Antigüidade</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">, </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Arquimedes"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Arquimedes</span></a><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;">. Pela construção de polígonos inscrito e circunscrito de 96 lados encontrou que pi seria entre um valor entre 223/71 e 22/7, ou seja, estaria aproximadamente entre 3,1408 e 3,1429. Tal método é o chamado método clássico para cálculo de pi.<sup class="reference" id="cite_ref-7"><a href="http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=3598985135861347652#cite_note-7"><span style="font-size: x-small;">[8]</span></a></sup></span></span><br />
<a class="mw-redirect" href="http://www.blogger.com/wiki/Ptolomeu" title="Ptolomeu"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Ptolomeu</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">, que viveu em </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Alexandria"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Alexandria</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> aproximadamente no século III d.C., calculou pi tomando por base um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio. Seu valor foi aproximadamente 3,1416. Considerando o que sabemos atualmente, sua aproximação foi bem melhor que a de </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Arquimedes"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Arquimedes</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">.</span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">A "busca" pelo valor de <span class="texhtml">π</span> chegou até à </span><a class="mw-redirect" href="http://www.blogger.com/wiki/China" title="China"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">China</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">, onde </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Liu_Hui"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Liu Hui</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">, um copiador de livros, conseguiu obter o valor 3,14159 com um </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Pol%C3%ADgono"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">polígono</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> de 3.072 lados. Mas só no final do século V que o matemático </span><a class="new" href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=Tsu_Ch%27ung-chih&action=edit&redlink=1" title="Tsu Ch'ung-chih (página não existe)"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Tsu Ch'ung-chih</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> chegou a uma aproximação melhor: entre 3,1415926 e 3,1415927.</span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Nesta mesma época, o matemático hindu </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Aryabhata"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Aryabhata</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> deixou registrado em versos num livro a seguinte afirmação: "Some-se 4 a 100, multiplique-se por 8 e some-se 62.000. O resultado é aproximadamente uma circunferência de diâmetro 20.000".</span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Analisando matematicamente e considerando a equação citada anteriormente de <img alt="c = \pi \cdot d" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/b/4/cb4696ae462fa8d70aaff33a6a2de103.png" />:</span><br />
<dl><dd><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="
(4 + 100) \cdot 8 + 62000 \approx \pi \cdot 20000 \Rightarrow
" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/b/8/6b845890ac939a9c80bdfe6546aaa3bd.png" /> </span></dd></dl><dl><dd><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="
104 \cdot 8 + 62000 \approx \pi \cdot 20000 \Rightarrow
" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/6/7/e675a57b582f21ba78c81d810edeaad5.png" /> </span></dd></dl><dl><dd><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="
832 + 62000 \approx \pi \cdot 20000 \Rightarrow
" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/b/e/5becda8ebbfe147464ba277db9617a89.png" /> </span></dd></dl><dl><dd><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="
62832 \approx \pi \cdot 20000 \Rightarrow
" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/2/a/72a2f59b30d140eba219eb1d7b41f5ed.png" /> </span></dd></dl><dl><dd><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="
{62832 \over 20000} \approx \pi
" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/9/1/d91b86d0602f9add5ae19b2b64dfefa4.png" /> </span></dd></dl><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">O valor de <span class="texhtml">π</span>, portanto, seria 3,1416. Obviamente, quanto maior o número de casas decimais, melhor a aproximação do valor real de pi. Mas devemos considerar que, na época, isso não era algo fácil de se calcular.</span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">O maior cálculo de casas decimais até o </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/S%C3%A9culo_XV"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">século XV</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> foi 3,1415926535897932 feito pelo matemático </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%C3%81rabe" title="Árabe"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">árabe</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> </span><a class="new" href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=Al-Kashi&action=edit&redlink=1" title="Al-Kashi (página não existe)"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">al-Kashi</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">. O matemático </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Pa%C3%ADses_Baixos" title="Países Baixos"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">holandês</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Ludolph_van_Ceulen"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Ludolph van Ceulen</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">, no final do </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/S%C3%A9culo_XVI"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">século XVI</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">, calculou um valor de <span class="texhtml">π</span> com 35 casas decimais, começando com um </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Pol%C3%ADgono"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">polígono</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> de 15 lados, dobrando o número de lados 37 vezes, e, logo em seguida, aumentando o número de lados. Por curiosidade, a sua esposa mandou gravar no seu túmulo o valor de <span class="texhtml">π</span> com as supracitadas 35 casas decimais.</span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Hoje em dia é relativamente mais fácil, com os computadores modernos que calculam até bilhões de casas decimais para <span class="texhtml">π</span>.</span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Uma aproximação de <span class="texhtml">π</span> que apresenta diferença de aproximadamente 2,7e-7 é a seguinte:</span><br />
<dl><dd><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="
{355 \over 113} \approx \pi
" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/c/0/bc0dfe648bc95bc014410a5cbc98e68b.png" /> </span></dd></dl><h3><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;"> <span class="mw-headline" id="Formula.C3.A7.C3.A3o_matem.C3.A1tica_do_m.C3.A9todo_de_Arquimedes">Formulação matemática do método de Arquimedes</span></span></span></h3><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Baseado no método de </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Arquimedes"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Arquimedes</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> é possível formular uma representação </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Matem%C3%A1tica"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">matemática</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> para o cálculo de pi, eficiente para um </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Pol%C3%ADgono"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">polígono</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> de qualquer número de lados.</span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Considerando um polígono de n lados e raio 1, temos a medida do lado expressa pela </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Lei_dos_cossenos"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">lei dos cossenos</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">:</span><br />
<span class="texhtml"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">a<sup><span style="font-size: x-small;">2</span></sup> = b<sup><span style="font-size: x-small;">2</span></sup> + c<sup><span style="font-size: x-small;">2</span></sup> − 2bccosα</span></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Temos formado um </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Tri%C3%A2ngulo"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">triângulo</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> isósceles, de base l e lados r=1:</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;"><span class="texhtml">l<sup><span style="font-size: x-small;">2</span></sup> = r<sup><span style="font-size: x-small;">2</span></sup> + r<sup><span style="font-size: x-small;">2</span></sup> − 2r<sup><span style="font-size: x-small;">2</span></sup>cosα</span><br />
<span class="texhtml">l<sup><span style="font-size: x-small;">2</span></sup> = 1<sup><span style="font-size: x-small;">2</span></sup> + 1<sup><span style="font-size: x-small;">2</span></sup> − 2cosα</span><br />
<span class="texhtml">l<sup><span style="font-size: x-small;">2</span></sup> = 2 − 2cosα</span><br />
<img alt="l = \sqrt{2 - 2\cos \alpha}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/d/c/5dce9a796281e8678a3b0b1c022ca743.png" /></span></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">O </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%C3%82ngulo" title="Ângulo"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">ângulo</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> do triângulo isósceles no centro do </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Pol%C3%ADgono"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">polígono</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> é expresso por 360º dividido pelo número de lados (n), portanto:</span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="l = \sqrt{2 - 2\cos\left(\frac{360}{n} \right)}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/8/1/08100b22712ba88c1a796b8f1c04732e.png" /></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Dessa forma, o perímetro do polígono será de:</span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="p = n.\sqrt{2 - 2\cos\left(\frac{360}{n} \right)}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/1/0/610c9abc9a68c9c4e99eea422849797c.png" /></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Como <span class="texhtml">π</span> é representado pelo perímetro do polígono dividido pelo seu </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Di%C3%A2metro"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">diâmetro</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">, temos:</span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="\pi = \frac{n.\sqrt{2 - 2\cos\left(\frac{360}{n} \right)}}{2}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/1/1/d114c15d0a918abb00945e6acdd9d497.png" /></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Aplicanto transformações trigonométricas, a fómula acima pode ser simplificada para:</span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="\pi = n.sen\left(\frac{180}{n} \right)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/d/c/4dc15ce67d8b8d87574b638fb2a46861.png" /></span><br />
<h3><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;"> <span class="mw-headline" id="M.C3.A9todos_estat.C3.ADsticos">Métodos estatísticos</span></span></span></h3><div class="floatright"><a class="image" href="http://www.blogger.com/wiki/Ficheiro:Monte-Carlo01.gif" title="Método Estatístico de Monte-Carlo para o Cálculo de π."><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="Método Estatístico de Monte-Carlo para o Cálculo de π." height="300" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/ba/Monte-Carlo01.gif" width="300" /></span></a></div><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Outro método interessante para o cálculo de <span class="texhtml">π</span> pode ser realizado através de </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/M%C3%A9todo_de_Monte_Carlo" title="Método de Monte Carlo"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Monte Carlo</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> utilizando-se a </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Estat%C3%ADstica"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">estatística</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">. Nesse método são sorteados aleatoriamente pontos num quadrado compreendido entre as coordenadas <span class="texhtml">O = (0,0)</span> e <span class="texhtml">B = (1,1)</span>. Em seguida calcula-se a distância dos pontos sorteados <span class="texhtml">c<sub><span style="font-size: x-small;">n</span></sub> = (x<sub><span style="font-size: x-small;">n</span></sub>,y<sub><span style="font-size: x-small;">n</span></sub>)</span> até a origem O = (0, 0). <span class="texhtml">π</span> pode ser aproximado através do número de pontos inscritos na circunferência de raio 1 em relação ao total de pontos sorteados no quadrado de lado 1.</span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">No exemplo ao lado , <img alt="\pi \cong 4 \cdot 386 / 500 = 3.088" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/7/a/a7a18f1dcb7104caffabc6217b6b2e84.png" /></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Outro método que utiliza a estatística de Monte Carlo para o cálculo de <span class="texhtml">π</span> é conhecido como </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Agulha_de_Buffon"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Agulha de Buffon</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">, proposto no </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/S%C3%A9culo_XVIII"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">século XVIII</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> pelo naturalista </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Fran%C3%A7a" title="França"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">francês</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Georges-Louis_Leclerc,_conde_de_Buffon" title="Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Georges de Buffon</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">.</span><br />
<h3><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;"> <span class="mw-headline" id="M.C3.A9todos_de_s.C3.A9ries_infinitas">Métodos de séries infinitas</span></span></span></h3><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">O </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Fran%C3%A7a" title="França"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">francês</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">François Viète</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">, estudando o método de Arquimedes, desenvolveu a seguinte série para o cálculo de <span class="texhtml">π</span> em 1593:</span><br />
<dl><dd><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdot \dots = \frac{2}{\pi}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/b/5/eb5a78d5f2ad58e076fd9766a9195e93.png" /> </span></dd></dl><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">O matemático </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/John_Wallis"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">John Wallis</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">, desenvolveu outra série infinita em 1655:</span><br />
<dl><dd><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt=" \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \dots = \frac{\pi}{2} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/0/d/50df71a3ac87abb90a2202e13bb2fbd3.png" />. </span></dd></dl><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Outra série conhecida para o cálculo de <span class="texhtml">π</span> foi desenvolvida por </span><a class="mw-redirect" href="http://www.blogger.com/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Leibniz</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> em 1682, utilizando-se da </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/S%C3%A9rie_de_Taylor"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">série de Taylor</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> para a função arctan(x), tomando-se x=1 e, por conseguinte, arctan(1)=<span class="texhtml">π</span>/4.</span><br />
<dl><dd><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \dots = \frac{\pi}{4}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/d/c/cdc7391a8727e3d5579e589d25e8a12c.png" />. </span></dd></dl><a href="http://www.blogger.com/wiki/Johann_Heinrich_Lambert"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Johann Heinrich Lambert</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> publicou, em 1770, uma série na forma de divisões infinitas:</span><br />
<dl><dd><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9+\frac{5^2}{11+\frac{6^2}{\cdots}}}}}}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/0/b/00ba7291b5c032129fc1d82999a9dfb4.png" /> </span></dd></dl><h3><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;"><span class="mw-headline" id="M.C3.A9todos_de_c.C3.A1lculo_num.C3.A9rico">Métodos de cálculo numérico</span></span></span></h3><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Um dos estudos dos métodos de </span><a class="mw-redirect" href="http://www.blogger.com/wiki/C%C3%A1lculo_num%C3%A9rico" title="Cálculo numérico"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">cálculo numérico</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"> é obter a raiz de uma função. Quando consideramos a função <span class="texhtml">f(x) = sin(x)</span> sabemos que <span class="texhtml">f(π) = sin(π) = 0</span>. Os principais métodos do calculo numérico para a obtenção da raiz da função <span class="texhtml">f(x)</span> podem incluir uma busca binária no intervalo <span class="texhtml">[a,b]</span> onde se sabemos que <span class="texhtml">f(3) = sin(3) > 0</span> <span class="texhtml">(a = 3)</span> e <span class="texhtml">f(4) = sin(4) < 0</span> <span class="texhtml">(b = 4)</span> então podemos aprimorar o intervalo para:</span><br />
<dl><dd>
<dl><dd><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="[a, {{a+b} \over 2}]" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/4/0/54038e4a1419787a59fba6fc401068cd.png" />, se <img alt="f({{a+b} \over 2}) < 0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/a/9/aa9c92f45cd567b1274d9ca0a6fc9b6f.png" /> e </span></dd></dl></dd></dl><dl><dd>
<dl><dd><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="[{{a+b} \over 2}, b]" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/6/1/961d4408cc3436372b070876103e77dc.png" />, se <img alt="f({{a+b} \over 2}) >= 0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/7/8/f7859f4b60f616300f93bef06b69ebb6.png" /> </span></dd></dl></dd></dl><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Partindo-se do intervalo <img alt="\pi \in [3, 4]" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/c/0/5c0a97ccaab358bec9a15560fa5502a2.png" /> esse método permite refiná-lo sucessivamente para os intervalos</span><br />
<ol><li><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="\pi \in [3, 3.5]" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/3/8/238996635809270862ab2383deee77d5.png" /> </span></li>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="\pi \in [3, 3.25]" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/c/8/6c886c5cc20f48284c9417fb4ecf6864.png" /> </span></li>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="\pi \in [3.125, 3.25]" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/5/1/3516956016d85ced87e5cb01becc1b41.png" /> </span></li>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="\pi \in [3.125, 3.1875]" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/9/c/09cb9699db5827df881ed3e4afcebde8.png" /> </span></li>
</ol><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">e assim sucessivamente.</span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Ainda no cálculo numérico, o método de </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton" title="Método de Newton"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Newton-Raphson</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">, mais eficiente que uma busca binária permite obter aproximações sucessivas para a raiz da função <span class="texhtml">f(x) = sin(x)</span> utilizando um ponto inicial <span class="texhtml">x<sub><span style="font-size: x-small;">0</span></sub></span> exigindo que conheçamos <span class="texhtml">f'(x) = cos(x)</span>.</span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Tomando-se <span class="texhtml">x<sub><span style="font-size: x-small;">0</span></sub> = 3</span> e considerando-se que por Newton-Rapson</span><br />
<dl><dd>
<dl><dd><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;"><img alt="x_{i+1} = x_i - {{f(x_i)} \over {f'(x_i)}} = x_i - {{sin(x_i)} \over {cos(x_i)}}= x_i - {{tan(x_i)}}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/8/8/b88be302704dfdd399353639d3ac56f5.png" />, </span></dd></dl></dd></dl><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;">temos a seguinte série para <span class="texhtml">π</span></span></span><br />
<ol><li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;"><span class="texhtml">x<sub><span style="font-size: x-small;">0</span></sub> = 3</span> </span></span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;"><span class="texhtml">x<sub><span style="font-size: x-small;">1</span></sub> = 3,14254654</span> </span></span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;"><span class="texhtml">x<sub><span style="font-size: x-small;">2</span></sub> = 3,14159265</span> </span></span></li>
</ol><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Um método otimizado de cálculo numérico para o cálculo de <span class="texhtml">π</span> através das raízes de uma função pode ser obtido pela simplificação</span><br />
<dl><dd>
<dl><dd><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;"><span class="texhtml">x<sub><span style="font-size: x-small;">i + 1</span></sub> = x<sub><span style="font-size: x-small;">i</span></sub> + sin(x<sub><span style="font-size: x-small;">i</span></sub>)</span>, </span></span></dd></dl></dd></dl><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: black;">pois na proximidade de <span class="texhtml">π</span>, <img alt="cos (x_i) \cong -1" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/e/1/4e12a396584531ceed84286ff7b62bd5.png" />.</span></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">Notemos que nesses algoritmos de cálculo numérico considera-se <span class="texhtml">π</span> como trancendental, uma vez que a função <span class="texhtml">f(x) = sin(x)</span> não pode ser escrita através de um polinômio finito de coeficientes racionais; a função <span class="texhtml">f(x) = sin(x)</span> é obtida através da expansão da </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/S%C3%A9rie_de_Taylor"><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">série de Taylor</span></a><span style="color: black; font-family: Verdana, sans-serif;">.</span>O numero do PIhttp://www.blogger.com/profile/09372828817269640490noreply@blogger.com0