como usamos o numero pi no dia a dia

Como Aplicamos o Número Pi no Dia-a-Dia

Nos usamos o numero pi para medir comprimento de uma circunferência e d o diâmetro, temos:
 c/d = pi
c = pi x d  Como o comprimento de uma circunferência é dado por c = pi . d, é fácil entender que a solução da equação de Aryabhata:
(4 + 100) x 8 + 62 000 = pi x 20 000
104 x 8 + 62 000 = pi x 20 000
832 + 62 000 = pi x 20 000
62 832 = pi x 20 000
62 832/20 000 = pi
3,1416 = pi
 Quanto maior o número de casas decimais, melhor é a aproximação que se obtém para pi.
 Há pessoas que têm inventado frases, em diferentes línguas, para ajudar a memorizar π, em que o número de letras de cada palavra indica o respectivo algarismo. Por exemplo:
“Sou o medo e temor constante do menino vadio” – 3,14159265
“Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages” - 3,1415926535
“May I have a large container of coffee” - 3,1415926
 Existem muitas formas de se obter o valor exato de π e alguns métodos aproximados. Consideramos que [[π]] é um número irracional e transcendente, de forma que os métodos de cálculo sempre envolvem aproximações, aproximações sucessivas e/ou séries infinitas de somas, multiplicações e divisões.
O maior cálculo de casas decimais até o século XV foi 3,1415926535897932 feito pelo matemático árabe al-Kashi. O matemático holandês Ludolph van Ceulen, no final do século XVI, calculou um valor de π com 35 casas decimais, começando com um polígono de 15 lados, dobrando o número de lados 37 vezes, e, logo em seguida, aumentando o número de lados. Por curiosidade, a sua esposa mandou gravar no seu túmulo o valor de π com as supracitadas 35 casas decimais.

Hoje em dia é relativamente mais fácil, com os computadores modernos que calculam até bilhões de casas decimais para π.

Uma aproximação de π que apresenta diferença de aproximadamente 2,7e-7 é a seguinte:

 

Baseado no método de Arquimedes é possível formular uma representação matemática para o cálculo de pi, eficiente para um polígono de qualquer número de lados.

Considerando um polígono de n lados e raio 1, temos a medida do lado expressa pela lei dos cossenos:

a2 = b2 + c2 − 2bccosα

Temos formado um triângulo isósceles, de base l e lados r=1:

l2 = r2 + r2 − 2r2cosα
l2 = 12 + 12 − 2cosα
l2 = 2 − 2cosα


O ângulo do triângulo isósceles no centro do polígono é expresso por 360º dividido pelo número de lados (n), portanto:



O francês François Viète, estudando o método de Arquimedes, desenvolveu a seguinte série para o cálculo de π em 1593:


Outra série conhecida para o cálculo de π foi desenvolvida por Leibniz em 1682, utilizando-se da série de Taylor para a função arctan(x), tomando-se x=1 e, por conseguinte, arctan(1)=π/4.

Johann Heinrich Lambert publicou, em 1770, uma série na forma de divisões infinitas:


Um dos estudos dos métodos de cálculo numérico é obter a raiz de uma função. Quando consideramos a função f(x) = sin(x) sabemos que f(π) = sin(π) = 0. Os principais métodos do calculo numérico para a obtenção da raiz da função f(x) podem incluir uma busca binária no intervalo [a,b] onde se sabemos que f(3) = sin(3) > 0 (a = 3) e f(4) = sin(4) < 0 (b = 4) então podemos aprimorar o intervalo para:

   
  
Partindo-se do intervalo \pi \in [3, 4] esse método permite refiná-lo sucessivamente para os intervalos

e assim sucessivamente.

Ainda no cálculo numérico, o método de Newton-Raphson, mais eficiente que uma busca binária permite obter aproximações sucessivas para a raiz da função f(x) = sin(x) utilizando um ponto inicial x0 exigindo que conheçamos f'(x) = cos(x).

Tomando-se x0 = 3 e considerando-se que por Newton-Rapson


temos a seguinte série para π

  1.  x0 = 3
  2 . x1 = 3,14254654
  2.  x2 = 3,14159265
Um método otimizado de cálculo numérico para o cálculo de π através das raízes de uma função pode ser obtido pela simplificação

        xi + 1 = xi + sin(xi),

pois na proximidade de π,

Notemos que nesses algoritmos de cálculo numérico considera-se π como trancendental, uma vez que a função f(x) = sin(x) não pode ser escrita através de um polinômio finito de coeficientes racionais; a função f(x) = sin(x) é obtida através da expansão da série de Taylor.

O numero pi é igual a : 0,3333333... = 0,3

1,6666666... = 1,6

12,121212... = 12,12

0,9999999... = 0,9

7,1333333... = 7,13

0,333333... = 0,(3) = 0,3

3,636363... = 3,(63) = 3,63

Como Aplicamos o Número Pi no Dia-a-Dia

Como Aplicamos o Número Pi no Dia-a-Dia

Nos usamos o numero pi para medir comprimento de uma circunferência e d o diâmetro, temos:
 c/d = pi
c = pi x d  Como o comprimento de uma circunferência é dado por c = pi . d, é fácil entender que a solução da equação de Aryabhata:
(4 + 100) x 8 + 62 000 = pi x 20 000
104 x 8 + 62 000 = pi x 20 000
832 + 62 000 = pi x 20 000
62 832 = pi x 20 000
62 832/20 000 = pi
3,1416 = pi
 Quanto maior o número de casas decimais, melhor é a aproximação que se obtém para pi.
 Há pessoas que têm inventado frases, em diferentes línguas, para ajudar a memorizar π, em que o número de letras de cada palavra indica o respectivo algarismo. Por exemplo:
“Sou o medo e temor constante do menino vadio” – 3,14159265
“Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages” - 3,1415926535
“May I have a large container of coffee” - 3,1415926
 Existem muitas formas de se obter o valor exato de π e alguns métodos aproximados. Consideramos que [[π]] é um número irracional e transcendente, de forma que os métodos de cálculo sempre envolvem aproximações, aproximações sucessivas e/ou séries infinitas de somas, multiplicações e divisões.
O maior cálculo de casas decimais até o século XV foi 3,1415926535897932 feito pelo matemático árabe al-Kashi. O matemático holandês Ludolph van Ceulen, no final do século XVI, calculou um valor de π com 35 casas decimais, começando com um polígono de 15 lados, dobrando o número de lados 37 vezes, e, logo em seguida, aumentando o número de lados. Por curiosidade, a sua esposa mandou gravar no seu túmulo o valor de π com as supracitadas 35 casas decimais.

Hoje em dia é relativamente mais fácil, com os computadores modernos que calculam até bilhões de casas decimais para π.

Uma aproximação de π que apresenta diferença de aproximadamente 2,7e-7 é a seguinte:

 

Baseado no método de Arquimedes é possível formular uma representação matemática para o cálculo de pi, eficiente para um polígono de qualquer número de lados.

Considerando um polígono de n lados e raio 1, temos a medida do lado expressa pela lei dos cossenos:

a2 = b2 + c2 − 2bccosα

Temos formado um triângulo isósceles, de base l e lados r=1:

l2 = r2 + r2 − 2r2cosα
l2 = 12 + 12 − 2cosα
l2 = 2 − 2cosα


O ângulo do triângulo isósceles no centro do polígono é expresso por 360º dividido pelo número de lados (n), portanto:



O francês François Viète, estudando o método de Arquimedes, desenvolveu a seguinte série para o cálculo de π em 1593:


Outra série conhecida para o cálculo de π foi desenvolvida por Leibniz em 1682, utilizando-se da série de Taylor para a função arctan(x), tomando-se x=1 e, por conseguinte, arctan(1)=π/4.

Johann Heinrich Lambert publicou, em 1770, uma série na forma de divisões infinitas:


Um dos estudos dos métodos de cálculo numérico é obter a raiz de uma função. Quando consideramos a função f(x) = sin(x) sabemos que f(π) = sin(π) = 0. Os principais métodos do calculo numérico para a obtenção da raiz da função f(x) podem incluir uma busca binária no intervalo [a,b] onde se sabemos que f(3) = sin(3) > 0 (a = 3) e f(4) = sin(4) < 0 (b = 4) então podemos aprimorar o intervalo para:

   
  
Partindo-se do intervalo \pi \in [3, 4] esse método permite refiná-lo sucessivamente para os intervalos

e assim sucessivamente.

Ainda no cálculo numérico, o método de Newton-Raphson, mais eficiente que uma busca binária permite obter aproximações sucessivas para a raiz da função f(x) = sin(x) utilizando um ponto inicial x0 exigindo que conheçamos f'(x) = cos(x).

Tomando-se x0 = 3 e considerando-se que por Newton-Rapson


temos a seguinte série para π

  1.  x0 = 3
  2 . x1 = 3,14254654
  2.  x2 = 3,14159265
Um método otimizado de cálculo numérico para o cálculo de π através das raízes de uma função pode ser obtido pela simplificação

        xi + 1 = xi + sin(xi),

pois na proximidade de π,

Notemos que nesses algoritmos de cálculo numérico considera-se π como trancendental, uma vez que a função f(x) = sin(x) não pode ser escrita através de um polinômio finito de coeficientes racionais; a função f(x) = sin(x) é obtida através da expansão da série de Taylor.

O numero pi é igual a : 0,3333333... = 0,3

1,6666666... = 1,6

12,121212... = 12,12

0,9999999... = 0,9

7,1333333... = 7,13

0,333333... = 0,(3) = 0,3

3,636363... = 3,(63) = 3,63

Por que é tão difícil calcular o PI?

A principal razão é que PI não é uma fração. Com efeito, se PI pudesse ser escrito como uma fração m / n, seu cálculo poderia

ou se resumir em buscar o valor de tais numeros inteiros m e n

ou explorar a periodicidade de sua representação decimal
( por exemplo, se fosse verdade que PI = 22 / 7 = 3.142857 142857 142857 ..., então nos bastaria achar o valor da parte inteira, 3, e o bloco 142857 que se repete indefinidamente )

O fato de que, por mais de 2000 anos, ninguém tivesse conseguido explorar nenhuma das duas possibilidades acima é exatamente o que sugeriu que PI não deva ser uma fração. A verificação rigorosa desse fato, ou seja a demonstração da irracionalidade de PI, veio só com Lambert, em 1 761.

Em verdade, por si só, a irracionalidade de PI não seria suficiente para determinar a dificuldade de seu cálculo; com efeito, existem irracionais de representação decimal previsível, e então fáceis de calcular, como é o caso de 3.10110111011110... . PI é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente.

O cálculo de aproximações práticas do PI

Dada a ubiqüidade do PI, já comentada acima, é mais do que natural e importante que desejemos calcular seu valor. Contudo, dada sua irracionalidade imprevisível, jamais saberemos seu valor exato e isso nos leva a indagar: por que não nos contentarmos com aproximações PRATICAS do PI?

Nas lides diárias, dificilmente precisaremos conhecer uma aproximação melhor do que 3.14, enquanto que a vasta maioria dos calculos científicos não precisa saber mais do que 3.1416 e somente cálculos matemáticos muito exigentes, como o da obtenção de valores muito exatos das funções trigonométricas, precisaria saber mais de 10 dígitos do PI.

O mais antigo matemático que se preocupou com a obtenção de aproximações PRATICAS do PI foi Archimedes c. 200AC, em seu trabalho Sobre a medida do círculo. Usando o método dos polígonos, que descreveremos adiante, na proposição 3 desse trabalho ele mostra que:

a circunferência de qualquer círculo é maior do que três vezes seu diâmetro, e o excesso e' menor do que a sétima parte do diâmetro mas maior do que dez vezes sua septuagésima primeira parte

ou seja: 3 10/71 < PI < 3 1/7, o equivale a dizer, em frações decimais: 3.1408 < Pi < 3.1428.

O método dos polígonos envolve a obtenção de sucessivas delimitações da circunferência do círculo através do cálculo do perímetro de polígonos regulares inscritos e circunscritos, cujo número de lados vai sucessivamente dobrando. Consequentemente, o método é capaz, ao menos em princípio, de obter aproximações do valor do PI tão grandes quanto desejarmos. E' importante não esquecermos desse "em princípio" pois que Archimedes calculava com frações ordinárias e isso tornava seus cálculos extremamente penosos.
Archimedes partiu de quadrados e chegou até aos hexacontatetrágonos ( = polígonos regulares de 64 lados ) e aí parou pois que achou que esses produziam um aproximação PRATICA do PI.

Insistimos: ele parou aí porque considerava ter obtido uma aproximação prática e não porque não tinha condições de enfrentar o crescente volume de cálculos. Com efeito, Heron de Alexandria, in Metrika I, diz que Archimedes, em seu livro Plinthides kai kylindroi ( hoje, completamente perdido ), mostrou que: 211 875 / 67 441 < PI < 197 888 / 62 351
( em frações decimais, corresponde a: 3.1416349 < PI < 3.1737742 )

e, certamente, teria condições de fazer ainda melhor se assim desejasse.

Em verdade, o costume de preferir usar aproximações cómodas do PI, em lugar de aproximações mais exatas, não iniciou com Archimedes. Os mesopotâmicos e os romanos conheciam várias aproximações para o PI, embora preferissem usar PI = 3 ( é o que fazia, por exemplo, o famoso arquiteto romano Vitruvius ).

Logo após Archimedes, Apollonios, num outro trabalho lamentavelmente perdido e entitulado Okytokion, obteve a hoje clássica e universal aproximação PI = 3.1416 ( que provavelmente ele escreveu como 3927 / 1250 ), mas reconhecia que a mesma não tinha a praticidade da 22/7 ( ou seja 3 + 1/7 ) de Archimedes.

B. van der Waerden argumenta que o trabalho de Apollonios foi lentamente divulgado entre os matemáticos e astronomos indianos e chegou até a China onde Zu Chongzhi c. 450dC o teria aperfeiçoado para obter a estimativa 3.1415 926 < PI < 3.1415 927, que corresponde a calcular PI com sete dígitos corretos e que foi durante muitos séculos a mais exata aproximação conhecida para PI ( os livros de Zu Chongzhi foram perdidos, mas sabe-se que sua estimativa acima aparece no livro de Cálculo Infinitesimal, entitulado Zhui shu, que foi escrito por ele ou por seu filho, Zu Gengzhi, o qual foi um matemático ainda mais talentoso; o mais antigo relato que temos do cálculo do Pi por Zu Chongzhi aparece no comentário de Li Chunfeng do Jiu zhang suanshu, capítulo 1, problema 32 ).

Por que calcular muitos dígitos do PI ?

Quanto ao porquê de se procurar calcular PI com um número de decimais cada vez maior se, sabe-se, que tais aproximações não terão valor prático:

ATE A SEGUNDA GUERRA:

desafio, o prazer que sente todo verdadeiro matemático de enfrentar um problema difícil

fama, o desejo de entrar para a História da Matemática
Por exemplo, um dos mais famosos records no calculo do Pi foi o de William Shanks o qual, em 1 874, depois de 15 anos de cálculos, obteve os 707 primeiros dígitos do PI. Seu trabalho foi de força bruta, a base de lápis e papel, e mesmo com o surgimento de máquinas de calcular e os primeiros computadores, esse record só foi quebrado em 1 947, por D. Ferguson usando uma calculadora mecânica, ao obter 808 dígitos. Mas, o mais importante é observarmos que esse tipo de esforço louco ficou para o passado com o surgimento dos computadores eletrônicos digitais, durante a Segunda Guerra

ATUALMENTE:
alem dos itens acima:

demonstrar a potência de novos métodos de cálculo

os progressos algorítmicos no cálculo do PI foram muito mais sensacionais do que os das máquinas. Isso foi muito bem colocado por Neal Carothers:
"O cálculo dos 100 265 primeiros digitos do PI, em 1961, precisou de aproximadamente 105 000 operações aritméticas, enquanto que o algoritmo inventado pelos irmãos Borwein em 1984 precisou de apenas 112 operações aritméticas para obter os mesmos dígitos. Com meras 8 iterações desse algoritmo ( o que envolveu 56 operações aritméticas ) eles obtiveram em poucos segundos a aproximação que consumiu 15 anos da vida de Wm. Shanks".

estudar a estatística da distribuição dos dígitos do PI

conforme já mencionamos acima, um dos interesses em calcularmos grandes quantidades de dígitos do PI é podermos verificar se é ou não verdadeira a hipótese da distribuição aleatória de seus dígitos. Os cálculos já realizados tendem a confirmar essa conjectura. Por exemplo, examinando os 200 bilhões de dígitos iniciais do PI, Kanada e Takahashi obtiveram a seguinte distribuiçõo:

DÍGITO NUMERO de OCORRÊNCIAS

0 20000030841
1 19999914711
2 20000136978
3 20000069393
4 19999921691
5 19999917053
6 19999881515
7 19999967594
8 20000291044
9 19999869180

esses números de ocorrência estão bastante próximos dos esperados 20 000 000 000. Mais do que isso: os números de ocorrência tendem aos valores esperados com uma velocidade que está dentro do previsto pelo cálculo das probabilidades, conforme detalharemos adiante. 

demonstrar a potência de novos computadores:
uma maneira prática de exibirmos a potência de um novo computador é anunciando que o mesmo possibilitou a quebra do record no número de algarismos calculados para PI.

- feito por : Corinna Kelly, Rafaela, Luana, Yara, Vivia e Rebeca.

Por que é tão difícil calcular o PI?

A principal razão é que PI não é uma fração. Com efeito, se PI pudesse ser escrito como uma fração m / n, seu cálculo poderia

ou se resumir em buscar o valor de tais numeros inteiros m e n

ou explorar a periodicidade de sua representação decimal
( por exemplo, se fosse verdade que PI = 22 / 7 = 3.142857 142857 142857 ..., então nos bastaria achar o valor da parte inteira, 3, e o bloco 142857 que se repete indefinidamente )

O fato de que, por mais de 2000 anos, ninguém tivesse conseguido explorar nenhuma das duas possibilidades acima é exatamente o que sugeriu que PI não deva ser uma fração. A verificação rigorosa desse fato, ou seja a demonstração da irracionalidade de PI, veio só com Lambert, em 1 761.

Em verdade, por si só, a irracionalidade de PI não seria suficiente para determinar a dificuldade de seu cálculo; com efeito, existem irracionais de representação decimal previsível, e então fáceis de calcular, como é o caso de 3.10110111011110... . PI é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente.

O cálculo de aproximações práticas do PI

Dada a ubiqüidade do PI, já comentada acima, é mais do que natural e importante que desejemos calcular seu valor. Contudo, dada sua irracionalidade imprevisível, jamais saberemos seu valor exato e isso nos leva a indagar: por que não nos contentarmos com aproximações PRATICAS do PI?

Nas lides diárias, dificilmente precisaremos conhecer uma aproximação melhor do que 3.14, enquanto que a vasta maioria dos calculos científicos não precisa saber mais do que 3.1416 e somente cálculos matemáticos muito exigentes, como o da obtenção de valores muito exatos das funções trigonométricas, precisaria saber mais de 10 dígitos do PI.

O mais antigo matemático que se preocupou com a obtenção de aproximações PRATICAS do PI foi Archimedes c. 200AC, em seu trabalho Sobre a medida do círculo. Usando o método dos polígonos, que descreveremos adiante, na proposição 3 desse trabalho ele mostra que:

a circunferência de qualquer círculo é maior do que três vezes seu diâmetro, e o excesso e' menor do que a sétima parte do diâmetro mas maior do que dez vezes sua septuagésima primeira parte

ou seja: 3 10/71 < PI < 3 1/7, o equivale a dizer, em frações decimais: 3.1408 < Pi < 3.1428.

O método dos polígonos envolve a obtenção de sucessivas delimitações da circunferência do círculo através do cálculo do perímetro de polígonos regulares inscritos e circunscritos, cujo número de lados vai sucessivamente dobrando. Consequentemente, o método é capaz, ao menos em princípio, de obter aproximações do valor do PI tão grandes quanto desejarmos. E' importante não esquecermos desse "em princípio" pois que Archimedes calculava com frações ordinárias e isso tornava seus cálculos extremamente penosos.
Archimedes partiu de quadrados e chegou até aos hexacontatetrágonos ( = polígonos regulares de 64 lados ) e aí parou pois que achou que esses produziam um aproximação PRATICA do PI.

Insistimos: ele parou aí porque considerava ter obtido uma aproximação prática e não porque não tinha condições de enfrentar o crescente volume de cálculos. Com efeito, Heron de Alexandria, in Metrika I, diz que Archimedes, em seu livro Plinthides kai kylindroi ( hoje, completamente perdido ), mostrou que: 211 875 / 67 441 < PI < 197 888 / 62 351
( em frações decimais, corresponde a: 3.1416349 < PI < 3.1737742 )

e, certamente, teria condições de fazer ainda melhor se assim desejasse.

Em verdade, o costume de preferir usar aproximações cómodas do PI, em lugar de aproximações mais exatas, não iniciou com Archimedes. Os mesopotâmicos e os romanos conheciam várias aproximações para o PI, embora preferissem usar PI = 3 ( é o que fazia, por exemplo, o famoso arquiteto romano Vitruvius ).

Logo após Archimedes, Apollonios, num outro trabalho lamentavelmente perdido e entitulado Okytokion, obteve a hoje clássica e universal aproximação PI = 3.1416 ( que provavelmente ele escreveu como 3927 / 1250 ), mas reconhecia que a mesma não tinha a praticidade da 22/7 ( ou seja 3 + 1/7 ) de Archimedes.

B. van der Waerden argumenta que o trabalho de Apollonios foi lentamente divulgado entre os matemáticos e astronomos indianos e chegou até a China onde Zu Chongzhi c. 450dC o teria aperfeiçoado para obter a estimativa 3.1415 926 < PI < 3.1415 927, que corresponde a calcular PI com sete dígitos corretos e que foi durante muitos séculos a mais exata aproximação conhecida para PI ( os livros de Zu Chongzhi foram perdidos, mas sabe-se que sua estimativa acima aparece no livro de Cálculo Infinitesimal, entitulado Zhui shu, que foi escrito por ele ou por seu filho, Zu Gengzhi, o qual foi um matemático ainda mais talentoso; o mais antigo relato que temos do cálculo do Pi por Zu Chongzhi aparece no comentário de Li Chunfeng do Jiu zhang suanshu, capítulo 1, problema 32 ).

Por que calcular muitos dígitos do PI ?

Quanto ao porquê de se procurar calcular PI com um número de decimais cada vez maior se, sabe-se, que tais aproximações não terão valor prático:

ATE A SEGUNDA GUERRA:

desafio, o prazer que sente todo verdadeiro matemático de enfrentar um problema difícil

fama, o desejo de entrar para a História da Matemática
Por exemplo, um dos mais famosos records no calculo do Pi foi o de William Shanks o qual, em 1 874, depois de 15 anos de cálculos, obteve os 707 primeiros dígitos do PI. Seu trabalho foi de força bruta, a base de lápis e papel, e mesmo com o surgimento de máquinas de calcular e os primeiros computadores, esse record só foi quebrado em 1 947, por D. Ferguson usando uma calculadora mecânica, ao obter 808 dígitos. Mas, o mais importante é observarmos que esse tipo de esforço louco ficou para o passado com o surgimento dos computadores eletrônicos digitais, durante a Segunda Guerra

ATUALMENTE:
alem dos itens acima:

demonstrar a potência de novos métodos de cálculo

os progressos algorítmicos no cálculo do PI foram muito mais sensacionais do que os das máquinas. Isso foi muito bem colocado por Neal Carothers:
"O cálculo dos 100 265 primeiros digitos do PI, em 1961, precisou de aproximadamente 105 000 operações aritméticas, enquanto que o algoritmo inventado pelos irmãos Borwein em 1984 precisou de apenas 112 operações aritméticas para obter os mesmos dígitos. Com meras 8 iterações desse algoritmo ( o que envolveu 56 operações aritméticas ) eles obtiveram em poucos segundos a aproximação que consumiu 15 anos da vida de Wm. Shanks".

estudar a estatística da distribuição dos dígitos do PI

conforme já mencionamos acima, um dos interesses em calcularmos grandes quantidades de dígitos do PI é podermos verificar se é ou não verdadeira a hipótese da distribuição aleatória de seus dígitos. Os cálculos já realizados tendem a confirmar essa conjectura. Por exemplo, examinando os 200 bilhões de dígitos iniciais do PI, Kanada e Takahashi obtiveram a seguinte distribuiçõo:

DÍGITO NUMERO de OCORRÊNCIAS

0 20000030841
1 19999914711
2 20000136978
3 20000069393
4 19999921691
5 19999917053
6 19999881515
7 19999967594
8 20000291044
9 19999869180

esses números de ocorrência estão bastante próximos dos esperados 20 000 000 000. Mais do que isso: os números de ocorrência tendem aos valores esperados com uma velocidade que está dentro do previsto pelo cálculo das probabilidades, conforme detalharemos adiante. 

demonstrar a potência de novos computadores:
uma maneira prática de exibirmos a potência de um novo computador é anunciando que o mesmo possibilitou a quebra do record no número de algarismos calculados para PI.

- feito por : Corinna Kelly, Rafaela, Luana, Yara, Vivia e Rebeca.

Notação

Os primeiros a utilizarem a letra grega foram os matemáticos ingleses, mas para designar a circunferência de um círculo. O primeiro a utilizar definição atual foi William Jones. Entretanto foi só após Leonhard Euler utilizá-la que houve aceitação da notação pela comunidade científica.

Valor de π

O valor de π pertence aos números irracionais. Para a maioria dos cálculos simples é comum aproximar π por 3,14. Uma boa parte das calculadoras científicas de 8 dígitos aproxima π por 3,1415927. Para cálculos mais precisos pode-se utilizar com 52 casas decimais.Para cálculos ainda mais precisos pode-se obter aproximações de π através de algoritmos computacionais.

 Aproximações para π

Desde a Antiguidade, foram encontradas várias aproximações de π para o cálculo da área do círculo. Entre os egípcios, por exemplo no papiro de Ahmes, o valor atribuído a π seria , embora também seja encontrado o valor . Na Bíblia (1 Reis 7:23) é possível encontrar que os hebreus utilizavam o valor 3 como aproximação de π . Entre os babilônios, era comum o uso do valor 3 para calcular a área do círculo, apesar de o valor já ser conhecido como aproximação.

 Métodos de cálculo

Existem muitas formas de se obter o valor exato de π e alguns métodos aproximados. Consideramos que [[π]] é um número irracional e transcendente, de forma que os métodos de cálculo sempre envolvem aproximações, aproximações sucessivas e/ou séries infinitas de somas, multiplicações e divisões.

 Método clássico para o cálculo de π

Método do clássico para o cálculo de π

A primeira tentativa rigorosa de encontrar π deve-se a um dos mais conhecidos matemáticos da Antigüidade, Arquimedes. Pela construção de polígonos inscrito e circunscrito de 96 lados encontrou que pi seria entre um valor entre 223/71 e 22/7, ou seja, estaria aproximadamente entre 3,1408 e 3,1429. Tal método é o chamado método clássico para cálculo de pi.^[8]
Ptolomeu, que viveu em Alexandria aproximadamente no século III d.C., calculou pi tomando por base um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio. Seu valor foi aproximadamente 3,1416. Considerando o que sabemos atualmente, sua aproximação foi bem melhor que a de Arquimedes.
A "busca" pelo valor de π chegou até à China, onde Liu Hui, um copiador de livros, conseguiu obter o valor 3,14159 com um polígono de 3.072 lados. Mas só no final do século V que o matemático Tsu Ch'ung-chih chegou a uma aproximação melhor: entre 3,1415926 e 3,1415927.
Nesta mesma época, o matemático hindu Aryabhata deixou registrado em versos num livro a seguinte afirmação: "Some-se 4 a 100, multiplique-se por 8 e some-se 62.000. O resultado é aproximadamente uma circunferência de diâmetro 20.000".
Analisando matematicamente e considerando a equação citada anteriormente de :

O valor de π, portanto, seria 3,1416. Obviamente, quanto maior o número de casas decimais, melhor a aproximação do valor real de pi. Mas devemos considerar que, na época, isso não era algo fácil de se calcular.
O maior cálculo de casas decimais até o século XV foi 3,1415926535897932 feito pelo matemático árabe al-Kashi. O matemático holandês Ludolph van Ceulen, no final do século XVI, calculou um valor de π com 35 casas decimais, começando com um polígono de 15 lados, dobrando o número de lados 37 vezes, e, logo em seguida, aumentando o número de lados. Por curiosidade, a sua esposa mandou gravar no seu túmulo o valor de π com as supracitadas 35 casas decimais.
Hoje em dia é relativamente mais fácil, com os computadores modernos que calculam até bilhões de casas decimais para π.
Uma aproximação de π que apresenta diferença de aproximadamente 2,7e-7 é a seguinte:

 Formulação matemática do método de Arquimedes

Baseado no método de Arquimedes é possível formular uma representação matemática para o cálculo de pi, eficiente para um polígono de qualquer número de lados.
Considerando um polígono de n lados e raio 1, temos a medida do lado expressa pela lei dos cossenos:
a² = b² + c² − 2bccosα
Temos formado um triângulo isósceles, de base l e lados r=1:
l² = r² + r² − 2r²cosα
l² = 1² + 1² − 2cosα
l² = 2 − 2cosα

O ângulo do triângulo isósceles no centro do polígono é expresso por 360º dividido pelo número de lados (n), portanto:

Dessa forma, o perímetro do polígono será de:

Como π é representado pelo perímetro do polígono dividido pelo seu diâmetro, temos:

Aplicanto transformações trigonométricas, a fómula acima pode ser simplificada para:

 Métodos estatísticos

Outro método interessante para o cálculo de π pode ser realizado através de Monte Carlo utilizando-se a estatística. Nesse método são sorteados aleatoriamente pontos num quadrado compreendido entre as coordenadas O = (0,0) e B = (1,1). Em seguida calcula-se a distância dos pontos sorteados c_n = (x_n,y_n) até a origem O = (0, 0). π pode ser aproximado através do número de pontos inscritos na circunferência de raio 1 em relação ao total de pontos sorteados no quadrado de lado 1.
No exemplo ao lado ,
Outro método que utiliza a estatística de Monte Carlo para o cálculo de π é conhecido como Agulha de Buffon, proposto no século XVIII pelo naturalista francês Georges de Buffon.

 Métodos de séries infinitas

O francês François Viète, estudando o método de Arquimedes, desenvolveu a seguinte série para o cálculo de π em 1593:

O matemático John Wallis, desenvolveu outra série infinita em 1655:

.

Outra série conhecida para o cálculo de π foi desenvolvida por Leibniz em 1682, utilizando-se da série de Taylor para a função arctan(x), tomando-se x=1 e, por conseguinte, arctan(1)=π/4.

.

Johann Heinrich Lambert publicou, em 1770, uma série na forma de divisões infinitas:

Métodos de cálculo numérico

Um dos estudos dos métodos de cálculo numérico é obter a raiz de uma função. Quando consideramos a função f(x) = sin(x) sabemos que f(π) = sin(π) = 0. Os principais métodos do calculo numérico para a obtenção da raiz da função f(x) podem incluir uma busca binária no intervalo [a,b] onde se sabemos que f(3) = sin(3) > 0 (a = 3) e f(4) = sin(4) < 0 (b = 4) então podemos aprimorar o intervalo para:

, se e

, se

Partindo-se do intervalo esse método permite refiná-lo sucessivamente para os intervalos

1. 
2. 
3. 
4. 

e assim sucessivamente.
Ainda no cálculo numérico, o método de Newton-Raphson, mais eficiente que uma busca binária permite obter aproximações sucessivas para a raiz da função f(x) = sin(x) utilizando um ponto inicial x₀ exigindo que conheçamos f'(x) = cos(x).
Tomando-se x₀ = 3 e considerando-se que por Newton-Rapson

,

temos a seguinte série para π

1. x₀ = 3
2. x₁ = 3,14254654
3. x₂ = 3,14159265

Um método otimizado de cálculo numérico para o cálculo de π através das raízes de uma função pode ser obtido pela simplificação

x_{i + 1} = x_i + sin(x_i),

pois na proximidade de π, .
Notemos que nesses algoritmos de cálculo numérico considera-se π como trancendental, uma vez que a função f(x) = sin(x) não pode ser escrita através de um polinômio finito de coeficientes racionais; a função f(x) = sin(x) é obtida através da expansão da série de Taylor.