Valor aproximado de PI
A partir da razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro obtemos uma constante: o número PI; representado pela letra grega p. Descrevemos neste artigo definição, história e porque este número aparece em fórmulas como o perímetro da circunferência e a área de um círculo.
Os egípcios sabiam trabalhar muito bem com razões. Descobriram logo que a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência, e oseu valor é um número "um pouquinho maior que 3".
É essa razão que hoje chamamos pi.
Considerando c o comprimento de uma circunferência e d o diâmetro, temos:
c/d = pi
c = pi . d
O cálculo do valor exato de pi ocupou os matemáticos por muitos séculos.
Para chegar ao valor de pi exprsso por 3 1/6, que é aproximadamente 3,16, os egípcios há 3 500 anos partiram de um quadrado inscrito em uma circunferência, cujo lado media 9 unidades. Dobraram os lados do quadrado para obter um polígono de 8 lados e calcularam a razão entre os perímetros dos octógonos inscrito e circunscrito e o diâmetro da circunferência.
Os egípcios conseguiram uma aproximação melhor que a dos babilônios, para os quais "o comprimento de qualquer circunferência era o triplo de seu diâmetro", o que indicava o valor 3 para pi.
Por volta do século III a.C., Arquimedes - o mais famoso matemático da Antiguidade, que viveu e morreu em Siracusa, na Grécia - também procurou calcular a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro.
Começando com um hexágono regular, Arquimedes calculou os perímetros dos polígonos obtidos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono de 96 lados.
Calculando o perímetro desse polígono de 96 lados, conseguiu para pi um valor entre 3 10/71 e 3 10/70. Ou seja, para Arquimedes pi era um número entre 3,1408 e 3,1428.
Com um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio, Ptolomeu, que viveu em Alexandria, no Egito, por volta do século III d.C., conseguiu calcular o valor de pi como sendo 377/120, que é aproximadamente igual a 3,1416, uma aproximação ainda melhor que a de Arquimedes.
O fascínio pelo cálculo do valor exato de pi também tomou conta dos chineses. No século III d.C., Liu Hui, um copiador de livros, conseguiu obter o valor 3,14159 com um polígono de 3 072 lados.
Mas no fim do século V, o matemático Tsu Ch'ung-chih foi mais longe ainda: encontrou como valor de pi um número entre 3,1415926 e 3,1415927.
Nesta época, o grande matemático hindu Aryabhata deixou registrada esta afirmação num pequeno livro escrito em versos:
"Some-se 4 a 100, multiplique-se por 8 e some-se 62 000. O resultado é aproximadamente uma circunferência de diâmetro 20 000".
Se você recordar que o comprimento de uma circunferência é dado por c = pi . d, fica fácil entender que a solução da equação de Aryabhata:
(4 + 100) . 8 + 62 000 = pi . 20 000
104 . 8 + 62 000 = pi . 20 000
832 + 62 000 = pi . 20 000
62 832 = pi . 20 000
62 832/20 000 = pi
indica como valor de pi 3,1416.
62 832/ 20 000= 3,1416
Quanto maior o número de casas decimais, melhor é a aproximação que se obtém para pi.
Até o século XV, o melhor valor para pi havia sido encontrado pelo matemático árabe al-Kashi: 3,1415926534897932.
Mas o cálculo mais impressionante foi efetuado pelo matemático holândes Ludolph van Ceulen (1540-1610) no final do século XVI.
Começando com um polígono de 15 lados e dobrando o número de lados 37 vezes, Ceulen obteve um valor para pi com 20 casas decimais.
Logo em seguida, usando um número de lados ainda maior, ele conseguiu uma aproximação com 35 casas decimais!
Tamanha deve ter sido a emoção de Van Ceulen que, na sua morte, sua esposa mandou gravar no túmulo o valor de pi com as 35 casas decimais.
Imagine como ele se sentiria se viesse a saber que no século XX computadores calculariam, em segundos, o valor de pi com 100, 1000, 10 000, milhões de casas decimais!
Pi = 3,14159265358979323846264 33832795028841971693993751058 20974944592307816406286208998 62803482534211706798214808651 32823066470938446095505822317 253594081128481117450284102701 93852110555964462294895493038 19644288109756659334461284756 48233786783165271201909145648 5669234603486104543266482...
Muitos dos símbolos matemáticos que usamos atualmente devemos ao matemático suíço Leonhard Euller (1707-1783).
Foi Euller quem, em 1737, tornou conhecido o símbolo para o número pi. Foi também nesta época que os matemáticos conseguiram demonstrar que é um número irracional.
O cálculo isolado das decimais Pi
Em 1995, David Bailey, em colaboração com Peter Borwein e Simon Plouffe, descobriu uma fórmula de cálculo de p, uma soma infinita (freqüentemente chamada fórmula BBP):
Essa fórmula permite calcular facilmente a enésima decimal binária ou hexadecimal de p sem ter que calcular as decimais precedentes. O site de Bailey contém sua derivação e implementação em diversas linguagens de programação. Graças a uma fórmula derivada da fórmula BBP, o 4 000 000 000 000 000° algarismo de p em base 2 foi obtido em 2001.
OU SERÁ O "X" DA QUESTÃO?!
Chamamos de números irracionais todos os números que não podem ser expressos em forma de fração. Antes que você pergunte, dízimas periódicas podem ser representadas em forma de fração. O que são dízimas periódicas? São números que depois da parte inteira, repetem um período. Ex. 3,111111 ou 0, 34343...
Assim sendo os números irracionais têm expansão decimal infinita e não periódica.
Os egípcios não foram capazes de captar a natureza desses números. Quando em algum problema aparecia uma raiz quadrada, ela era expressa sempre como um número inteiro ou uma fração comum.
Os babilônios não estavam muito acima dos egípcios, embora trabalhassem com frações sexagesimais (como as que se usam hoje para a medida do tempo) em vez de frações comuns. É claro que também na base 60, um número real pode ter uma expansão infinita, periódica ou não. Mas os babilônios não percebiam isso e, quando obtinham um número irracional contentavam-se em expressá-lo até certa casa sem se preocupar com que viria depois.
Aos egípcios e babilônios juntaram-se os gregos na tentativa de compreender a natureza desses números.
Tal questão foi finalmente esclarecida a contento por volta do século XIX, em termos aritméticos, e com isso tornou-se possível justificar todas as questões até então nebulosas sobre o universo do números reais.
Entre os números irracionais o mais famoso é o "PI" que tem o seu valor expresso por 3,1415926535..............
Sua fama não é sem razão, pois quando menos esperamos deparamos com nosso amigo famoso como no caso das Pirâmide de Quéops, onde a circunferência da pirâmide dividida pelo dobro da altura (considere a altura como diâmetro) tem como resultado o famoso "PI".
Mas não acredite que isso seja só coincidência, obtemos o valor do "PI" dividindo o comprimento da circunferência pelo seu diâmetro.
Faça você o experimento. Arrume um barbante e meça por exemplo um disco de vinil. Com uma régua meça o diâmetro do mesmo, divida o comprimento fornecido pelo barbante pelo diâmetro fornecido pela régua e hei-lo que surge o nosso amigo o "PI".
Mas vá mais adiante e experimente fazer a mesma experiência com a borda de um copo, com um prato, com uma tampinha, ou com tudo que tiver a forma de uma circunferência e aí estará o famoso "PI".
A Matemática durante muitos séculos e até hoje é encarada como uma ciência fria, distante e de acesso a poucos, como se ela escolhesse a quem se mostrar.
É bem verdade que em tempos idos o acesso aos estudos de todas as ciências estava restrito a um público privilegiado como os nobres e aqueles de poder aquisitivo alto.
As mulheres só foi permitido o ensino das quatro operações fundamentais no final do século XIX, daí o postulado que o sexo feminino tem dificuldade para ciências exatas.
Mas preconceitos a parte, a área de ciências exatas é apaixonante .
Aqueles que tiverem a oportunidade de conhecer um pouco da história dos matemáticos famosos como Pitágoras, Euclides, Kramer, Laplace, Newton, Baskara Akaria, Arquimedes e tantos outros, poderão perceber que em comum todos tinham um coração extremamente apaixonado pela vida e por seus mistérios, tinham o olhar fixo no movimento do universo, acreditavam em Deus e suas descobertas eram feitas em honra e gloria Deste. Abriram mão da vida familiar, dos amigos, de todos os apelos da mocidade apenas para se dedicarem ao estudo e a formação de conceitos que permeiam até hoje todo o nosso conhecimento.
Eu em particular, tenho para mim, que estes homens falavam diretamente com Deus, que acessavam o Inconsciente Coletivo, que tinham livre acesso a outras dimensões.
Dizia Pitágoras: "O dia em que o homem descobrir o segredos dos números ele descobrirá os segredos do Universo".
"Deus é o maior matemático de todo Universo".
É bom lembrar que a primeira tabela de conversão de valores usada em numerologia foi elaborada por Pitágoras. Outra curiosidade é que a escola pitagórica tinha o hábito de transmitir o conhecimento aos seus discípulos ao ar livre, onde se buscava uma integração com a natureza e com o Universo.
Um dos mais destacados membros da Escola de Pitágoras, Filolau, dizia que todas as coisas têm um número e que sem os números nada se pode conceber ou compreender.
Para os pitagóricos, a harmônia do Universo, o movimento dos planetas, a vida animal e a vegetal, o som, a luz, tudo isso só podia ser explicado através dos números.
Os pitagóricos chegaram a atribuir qualidades curiosas aos números. Os números pares eram femininos e os ímpares, com exceção do 1, eram masculinos. O 5 era o símbolo do casamento, por ser a soma do primeiro número feminino o 2 com o primeiro número masculino, 3.
Euclides, considerado o pai da Geometria, tinha o hábito de traçar um circunferência no solo, colocar-se dentro e então entregar-se aos seus estudos.
O π tem, como todos sabemos, um valor aproximado de 3,14. No entanto, ele é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a razão entre dois números inteiros naturais. Para além de irracional é também um número transcendente, o que formalmente quer dizer que não é raiz de nenhuma equação polinomial a coeficientes inteiros. Isto na prática quer dizer que é impossível exprimir π com um número finito de números inteiros, de fracções racionais ou suas raízes. Apenas podemos saber o valor aproximado do π, pois não conseguimos prever o seu valor à medida que formos considerando um número cada vez maior de casas decimais.
Actualmente conhecem-se mais de 50 mi milhões de casas decimais de π. Podemos perguntar: mas então não saber exactamente o valor de π não tem problemas práticos, como por exemplo na engenharia ou na física teórica? A resposta pode dar-se com um exemplo: é apenas necessário conhecer 39 casas decimais de π para calcular “o perímetro de um circulo que cerque o universo conhecido com um erro que não ultrapassa o raio de um átomo de hidrogénio”
O valor de p
A primeira referência ao valor de p (pi) aparece na Bíblia, no Primeiro Livro dos Reis, 7, versículo 23: “Fez mais o mar de fundição, de dez côvados, de uma borda até à outra borda, redondo ao redor, e de cinco côvados ao alto; e um cordão de trinta côvados o cingia, em redor.” Aqui, o valor de p é 3, bastante inexacto, portanto.
Desde sempre, este número mágico despertou a atenção dos estudiosos. Os historiadores calculam que, desde 2000 a.C., os homens têm consciência de que a razão entre a circunferência e o seu diâmetro é igual para todos os círculos. Deram conta que, se duplicarem a distância através de um círculo, então também a distância em volta dele é igual ao dobro. Em notação algébrica, diremos que
em que o valor de p é constante. Note-se que o nome “pi”, usando a letra grega, só foi introduzido em 1706 por William Jones (1675-1749).
O valor exacto de p desde cedo despertou o interesse dos matemáticos. Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.) chegou ao valor de 22/7 ou seja 3,142857… Só no sec. XVIII é que se provou que p é um número irracional, isto é que não pode ser expresso como uma fracção, própria ou imprópria. Em termos práticos, isso significa que o número de casas decimais que p pode ter é infinito. No sec. XIX, demonstrou-se que p é um número transcendental, isto é, não pode ser expresso por uma equação algébrica com coeficientes racionais. Como corolário, deve dizer-se que é impossível fazer a “quadratura do círculo”, isto é, desenhar um quadrado com o mesmo perímetro de determinado círculo.
Podem apreciar-se na tabela a seguir os progressos feitos no cálculo do valor de p. Só no sec. XX., nos anos 50, é que se começaram a utilizar computadores para o cálculo das casas decimais de p.
Os valores de p através dos séculos
Pessoas/Povo | Ano | Valor |
Babilónia | ~2000 B.C. | 3 1/8 |
Egípcios | ~2000 B.C. | (16/9)^2= 3.1605 |
Chineses | ~1200 B.C. | 3 |
Antigo Testamento | ~550 B.C. | 3 |
Arquimedes | ~300 B.C. | encontra 3 10/71<Pi<3 1/7
usa 211875/67441=3.14163 |
Ptolomeu | ~200 A.D. | 377/120=3.14166... |
Chung Huing | ~300 A.D. | raiz(10)=3.16... |
Wang Fau | 263 A.D. | 157/50=3.14 |
Tsu Chung-Chi | ~500 A.D. | 3.1415926<Pi<3.1415929 |
Aryabhatta | ~500 | 3.1416 |
Brahmagupta | ~600 | raiz(10) |
| 820 | 3.1416 |
Fibonacci | 1220 | 3.141818 |
Ludolph van Ceulen | 1596 | Calcula p até 35 casas decimais |
Machin | 1706 | 100 casas decimais |
Lambert | 1766 | Prova quep é irracional |
Richter | 1855 | 500 casas decimais |
Lindeman | 1882 | Prova que p é transcendental |
Ferguson | 1947 | 808 casas decimais |
Computador Pegasus | 1957 | 7,840 casas decimais |
IBM 7090 | 1961 | 100,000 casas decimais |
CDC 6600 | 1967 | 500,000 casas decimais |
O valor de p com 10 000 casas decimais pode ser visto aqui. Hoje é possível calculá-lo com mais de dez mil milhões de casas decimais (para quê?) Eis algumas das fórmulas utilizadas para calcular o valor de p em computador:
Para conseguir decorar valores longos de p, começaram a ser inventadas mnemónicas, como esta, com 23 casas decimais, em que o número das letras de cada palavra representa um algarismo:
How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard...:
3.14159265358979323846264...
